Simplify the following expression: \(\frac{(3^4 - 5^2) \cdot \sqrt{196}}{7^2 - 5^2} + \log_2(64) - \frac{\sqrt[3]{343} \cdot (2^5 - 3^2)}{11} + \frac{5!}{3! \cdot 2!}\)

Решение:

1. Вычислим первую дробь:
• Числитель: \( (3^4 - 5^2) \cdot \sqrt{196} = (81 - 25) \cdot 14 = 56 \cdot 14 = 784 \)
• Знаменатель: \( 7^2 - 5^2 = 49 - 25 = 24 \)
• Первая дробь: \( \frac{784}{24} = \frac{98}{3} \)
2. Вычислим \( \log_2(64) \). Поскольку \( 2^6 = 64 \), то \( \log_2(64) = 6 \).
3. Вычислим вторую дробь:
• Числитель: \( \sqrt[3]{343} \cdot (2^5 - 3^2) = 7 \cdot (32 - 9) = 7 \cdot 23 = 161 \)
• Вторая дробь: \( \frac{161}{11} \)
4. Вычислим последнюю дробь (биномиальный коэффициент \( \binom{5}{3} \)):
• \( 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \)
• \( 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \)
• \( 2! = 2 \cdot 1 = 2 \)
• \( \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = \frac{120}{12} = 10 \)
5. Соберем все части вместе:
• \( \frac{98}{3} + 6 - \frac{161}{11} + 10 \)
• Приведем к общему знаменателю 33:
• \( \frac{98 \cdot 11}{33} + \frac{6 \cdot 33}{33} - \frac{161 \cdot 3}{33} + \frac{10 \cdot 33}{33} \)
• \( \frac{1078}{33} + \frac{198}{33} - \frac{483}{33} + \frac{330}{33} \)
• \( \frac{1078 + 198 - 483 + 330}{33} = \frac{1276 - 483 + 330}{33} = \frac{793 + 330}{33} = \frac{1123}{33} \)

Ответ: \( \frac{1123}{33} \).