Simplify the following expression: \(\frac{3\sqrt{9} \cdot 3^5}{15^0 \cdot 27^2 \cdot 3^{-\frac{1}{3}}}\)

Решение:

Чтобы упростить выражение, приведём все числа к основанию 3.

1. Представим \( \sqrt{9} \) как \( 3 \).
2. Представим \( 27 \) как \( 3^3 \).
3. Любое число в нулевой степени равно 1, значит \( 15^0 = 1 \).
4. Подставим эти значения в исходное выражение: \[ \frac{3 \cdot 3 \cdot 3^5}{1 \cdot (3^3)^2 \cdot 3^{-\frac{1}{3}}} \]
5. Упростим числитель: \( 3 \cdot 3 \cdot 3^5 = 3^{1+1+5} = 3^7 \).
6. Упростим знаменатель: \( (3^3)^2 \cdot 3^{-\frac{1}{3}} = 3^{3 \cdot 2} \cdot 3^{-\frac{1}{3}} = 3^6 \cdot 3^{-\frac{1}{3}} = 3^{6 - \frac{1}{3}} = 3^{\frac{18}{3} - \frac{1}{3}} = 3^{\frac{17}{3}} \).
7. Теперь разделим числитель на знаменатель: \[ \frac{3^7}{3^{\frac{17}{3}}} = 3^{7 - \frac{17}{3}} = 3^{\frac{21}{3} - \frac{17}{3}} = 3^{\frac{4}{3}} \]

Ответ: \( 3^{\frac{4}{3}} \).