Simplify the following expression: \(\frac{74a^3b}{c^4} \cdot \frac{b^3}{111a^5} \cdot 3ac^3\)

Решение:

• Для начала, запишем всё выражение в одну дробь, умножив числители и знаменатели:
• \[ \frac{74a^3b \cdot b^3 \cdot 3ac^3}{c^4 \cdot 111a^5} \]
• Теперь упростим коэффициенты. Заметим, что 74 и 111 делятся на 37 (74 = 2 * 37, 111 = 3 * 37).
• \[ \frac{2 \cdot 37 \cdot a^3b \cdot b^3 \cdot 3ac^3}{3  37 \cdot c^4 \cdot 111a^5} \]
• Сократим 37 и 3:
• \[ \frac{2 \cdot a^3b \cdot b^3 \cdot 3ac^3}{3  c^4 \cdot a^5} \]
• Сократим 3:
• \[ \frac{2 \cdot a^3b \cdot b^3 \cdot ac^3}{c^4 \cdot a^5} \]
• Объединим степени с одинаковыми основаниями в числителе:
• \[ \frac{2  a^{3+1}  b^{1+3}  c^3}{c^4  a^5} = \frac{2a^4b^4c^3}{a^5c^4} \]
• Теперь сократим степени с одинаковыми основаниями. При делении степеней с одинаковым основанием, вычитаем показатель степени знаменателя из показателя степени числителя:
• \[ 2  a^{4-5}  b^4  c^{3-4} = 2  a^{-1}  b^4  c^{-1} \]
• Отрицательные степени переносим в знаменатель, меняя знак показателя степени:
• \[ \frac{2b^4}{a^1c^1} = \frac{2b^4}{ac} \]

Ответ:  \( \frac{2b^4}{ac} \)