Simplify the following expression: $$\frac{\alpha^2 - 3}{\alpha(\alpha - 3)} - \frac{6}{\alpha(\alpha - 3)}$$

Решение:

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно вычесть их числители, а знаменатель оставить тот же.

1. Знаменатели дробей одинаковые: \( \alpha(\alpha - 3) \).
2. Вычтем числители: \( (\alpha^2 - 3) - 6 \).
3. Упростим числитель: \( \alpha^2 - 3 - 6 = \alpha^2 - 9 \).
4. Получим новую дробь: \( \frac{\alpha^2 - 9}{\alpha(\alpha - 3)} \).
5. Числитель \( \alpha^2 - 9 \) можно разложить как разность квадратов: \( (\alpha - 3)(\alpha + 3) \).
6. Подставим разложенный числитель в дробь: \( \frac{(\alpha - 3)(\alpha + 3)}{\alpha(\alpha - 3)} \).
7. Сократим дробь, убрав общий множитель \( (\alpha - 3) \) (при условии \( \alpha \neq 3 \)): \( \frac{\alpha + 3}{\alpha} \).

Ответ: \( \frac{\alpha + 3}{\alpha} \).