Simplify the following expression: $$ \frac{\sqrt{21} \cdot \sqrt{74}}{\sqrt{6}} $$

Решение:

Для упрощения выражения воспользуемся свойствами корней:

1. Объединим корни в числителе: \( \sqrt{21} \cdot \sqrt{74} = \sqrt{21 \cdot 74} \).
2. Выполним умножение под корнем: \( 21 \cdot 74 = 1554 \).
3. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{\sqrt{1554}}{\sqrt{6}} \).
4. Объединим корни в одно, используя свойство \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \): \( \sqrt{\frac{1554}{6}} \).
5. Выполним деление под корнем: \( \frac{1554}{6} = 259 \).
6. Итоговое выражение: \( \sqrt{259} \).
7. Проверим, можно ли упростить \( \sqrt{259} \). Разложим 259 на множители: \( 259 = 7 \cdot 37 \). Поскольку нет квадратных множителей, корень нельзя упростить дальше.

Ответ: \( \sqrt{259} \).