Simplify the following expression: \(\frac{\sqrt{22} \cdot \sqrt{33}}{\sqrt{6}}\)

Решение:

Для упрощения выражения воспользуемся свойствами корней: \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \) и \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \).

1. Объединим числитель под один корень: \[ \sqrt{22} \cdot \sqrt{33} = \sqrt{22 \cdot 33} \]
2. Подставим это в исходное выражение: \[ \frac{\sqrt{22 \cdot 33}}{\sqrt{6}} \]
3. Теперь объединим числитель и знаменатель под один корень: \[ \sqrt{\frac{22 \cdot 33}{6}} \]
4. Разложим числа на множители, чтобы упростить дробь: \( 22 = 2 \cdot 11 \), \( 33 = 3 \cdot 11 \), \( 6 = 2 \cdot 3 \).
5. Подставим разложения в выражение: \[ \sqrt{\frac{(2 \cdot 11) \cdot (3 \cdot 11)}{2 \cdot 3}} \]
6. Сократим общие множители в числителе и знаменателе: \[ \sqrt{\frac{\cancel{2} \cdot 11 \cdot \cancel{3} \cdot 11}{\cancel{2} \cdot \cancel{3}}} = \sqrt{11 \cdot 11} = \sqrt{11^2} \]
7. Извлечём квадратный корень: \[ \sqrt{11^2} = 11 \]

Ответ: 11