Simplify the following expression: \(\frac{\sqrt{m}}{\sqrt[9]{m} \cdot \sqrt[18]{m}}\)

Решение:

Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней. Представим корни в виде степеней:

• \( \sqrt{m} = m^{\frac{1}{2}} \)
• \( \sqrt[9]{m} = m^{\frac{1}{9}} \)
• \( \sqrt[18]{m} = m^{\frac{1}{18}} \)

Подставим это в исходное выражение:

\[ \frac{m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{9}} \cdot m^{\frac{1}{18}}} \]

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

\[ m^{\frac{1}{9}} \cdot m^{\frac{1}{18}} = m^{\frac{1}{9} + \frac{1}{18}} \]

Приведём дроби к общему знаменателю:

\[ \frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{2}{18} + \frac{1}{18} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6} \]

Таким образом, знаменатель равен \( m^{\frac{1}{6}} \).

Теперь разделим числитель на знаменатель. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:

\[ \frac{m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{6}}} = m^{\frac{1}{2} - \frac{1}{6}} \]

Приведём дроби к общему знаменателю:

\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

Получаем \( m^{\frac{1}{3}} \).

Переведём обратно из степени в корень:

\[ m^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{m} \]

Ответ: \( \sqrt[3]{m} \).