Simplify the following expression: \(\frac{x^2 - 4}{a - b} \cdot \frac{3a - 3b}{x^2 + 2x}\)

Решение:

Для упрощения выражения, разложим числители и знаменатели на множители:

• Числитель первой дроби: \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \) (разность квадратов).
• Знаменатель первой дроби: \( a - b \) (не раскладывается).
• Числитель второй дроби: \( 3a - 3b = 3(a - b) \) (вынесение общего множителя).
• Знаменатель второй дроби: \( x^2 + 2x = x(x + 2) \) (вынесение общего множителя).

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:

\[ \frac{(x - 2)(x + 2)}{a - b} \cdot \frac{3(a - b)}{x(x + 2)} \]

Сократим общие множители в числителе и знаменателе:

\[ \frac{(x - 2)\cancel{(x + 2)}}{\cancel{a - b}} \cdot \frac{3\cancel{(a - b)}}{x\cancel{(x + 2)}} \]

После сокращения остаётся:

\[ \frac{x - 2}{1} \cdot \frac{3}{x} = \frac{3(x - 2)}{x} \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ \frac{3x - 6}{x} \]

Или, в другом виде:

\[ 3 - \frac{6}{x} \]

При условии, что \( a \neq b \) и \( x \neq 0 \) и \( x \neq -2 \).

Ответ: \( \frac{3x - 6}{x} \).