Simplify the following expression: $$ \frac{xy^3 + x^4}{y^5 - 4x^4y} \cdot \left( \frac{x+y}{x-y} - \frac{x^2 - xy + y^2}{x^2 + xy + y^2} \right) $$

Решение:

• Шаг 1: Упрощаем первую дробь.
  Выносим общий множитель $$x$$ из числителя и $$y$$ из знаменателя:
• \[ \frac{x(y^3 + x^3)}{y(y^4 - 4x^4)} \]
• Шаг 2: Факторизуем знаменатель.
  Знаменатель представляет собой разность квадратов: $$y^4 - (2x^2)^2 = (y^2 - 2x^2)(y^2 + 2x^2)$$.
• Шаг 3: Факторизуем числитель (сумма кубов).
  $$y^3 + x^3 = (y+x)(y^2 - xy + x^2)$$.
• Шаг 4: Объединяем упрощенные части.
  \[ \frac{x(y+x)(y^2 - xy + x^2)}{y(y^2 - 2x^2)(y^2 + 2x^2)} \]
• Шаг 5: Упрощаем выражение в скобках.
  Приводим дроби к общему знаменателю $$(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3 - y^3$$.
• \[ \frac{(x+y)(x^2+xy+y^2) - (x^2-xy+y^2)(x-y)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)} \]
• Шаг 6: Раскрываем скобки в числителе.
  $$(x+y)(x^2+xy+y^2) = x^3 + x^2y + xy^2 + yx^2 + xy^2 + y^3 = x^3 + 2x^2y + 2xy^2 + y^3$$.
  $$(x^2-xy+y^2)(x-y) = x^3 - x^2y + xy^2 - yx^2 + xy^2 - y^3 = x^3 - 2x^2y + 2xy^2 - y^3$$.
• Шаг 7: Вычисляем числитель
  $$ (x^3 + 2x^2y + 2xy^2 + y^3) - (x^3 - 2x^2y + 2xy^2 - y^3) = 4x^2y + 2y^3 $$.
• Шаг 8: Объединяем упрощенные дроби.
  \[ \frac{x(y+x)(y^2 - xy + x^2)}{y(y^2 - 2x^2)(y^2 + 2x^2)} \cdot \frac{4x^2y + 2y^3}{x^3 - y^3} \]
• Шаг 9: Упрощаем окончательное выражение.
  Выносим $$2y(2x^2 + y^2)$$ из числителя второй дроби и $$(x-y)(x^2+xy+y^2)$$ из знаменателя.
• \[ \frac{x(y+x)(y^2 - xy + x^2)}{y(y^2 - 2x^2)(y^2 + 2x^2)} \cdot \frac{2y(2x^2 + y^2)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)} \]
• Шаг 10: Сокращаем и получаем финальный ответ.
  Обратите внимание, что $$y^3 + x^3 = (y+x)(y^2 - xy + x^2)$$.
  Упрощая, мы получаем:
• \[ \frac{2x(2x^2 + y^2)}{(y^2 - 2x^2)(x-y)(x^2+xy+y^2)} \]

Ответ:
$$ \frac{2x(2x^2 + y^2)}{(y^2 - 2x^2)(x-y)(x^2+xy+y^2)} $$