Simplify the following expression: \(\frac{y}{x+8} - \frac{6}{2-x}\)

Решение:

Чтобы вычесть дроби, приведём их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен \( (x+8)(2-x) \).

1. Изменим знак второй дроби и знаменатель: \( \frac{6}{2-x} = \frac{-6}{x-2} \).
2. Теперь наш пример выглядит так: \( \frac{y}{x+8} - \frac{-6}{x-2} \).
3. Приведём дроби к общему знаменателю \( (x+8)(x-2) \):

\( \frac{y(x-2)}{(x+8)(x-2)} - \frac{-6(x+8)}{(x+8)(x-2)} \)

\( = \frac{y(x-2) - (-6)(x+8)}{(x+8)(x-2)} \)

\( = \frac{xy - 2y + 6x + 48}{(x+8)(x-2)} \)

Можно также оставить знаменатель в виде \( -(x+8)(x-2) \) или \( (x+8)(2-x) \), что даст:

\( \frac{y}{x+8} - \frac{6}{2-x} = \frac{y(2-x)}{(x+8)(2-x)} - \frac{6(x+8)}{(x+8)(2-x)} \)

\( = \frac{2y - xy - (6x + 48)}{(x+8)(2-x)} \)

\( = \frac{2y - xy - 6x - 48}{(x+8)(2-x)} \)

\( = \frac{-(xy - 2y + 6x + 48)}{(x+8)(2-x)} \)

Оба варианта верны, но первый с \( (x+8)(x-2) \) чаще используется.

Ответ: \( \frac{xy - 2y + 6x + 48}{(x+8)(x-2)} \) или \( \frac{2y - xy - 6x - 48}{(x+8)(2-x)} \)