Simplify the following expression: \(\left(\frac{2a^{-5}}{5b^{4}}\right)^{-1} \cdot 12a^{-6}b^{3}\)

Задача: Упростить выражение \(\left(\frac{2a^{-5}}{5b^{4}}\right)^{-1} \cdot 12a^{-6}b^{3}\)

Решение:

1. Инвертируем дробь: Когда степень отрицательная, мы инвертируем основание. То есть, \(\left(\frac{2a^{-5}}{5b^{4}}\right)^{-1} = \frac{5b^{4}}{2a^{-5}}\).
2. Упрощаем с отрицательными степенями: \(a^{-5}\) в знаменателе становится \(a^{5}\) в числителе. Таким образом, \(\frac{5b^{4}}{2a^{-5}} = \frac{5b^{4}a^{5}}{2}\).
3. Умножаем полученное выражение на вторую часть: \(\frac{5b^{4}a^{5}}{2} \cdot 12a^{-6}b^{3}\)
4. Умножаем числители и знаменатели: \(\frac{5b^{4}a^{5} \cdot 12a^{-6}b^{3}}{2}\)
5. Складываем степени с одинаковыми основаниями:
• Для a: \(a^{5} \cdot a^{-6} = a^{5+(-6)} = a^{-1}\)
• Для b: \(b^{4} \cdot b^{3} = b^{4+3} = b^{7}\)
6. Объединяем все: \(\frac{5 \cdot 12 \cdot a^{-1} \cdot b^{7}}{2}\)
7. Упрощаем числовой коэффициент: \(\frac{60 \cdot a^{-1} \cdot b^{7}}{2} = 30a^{-1}b^{7}\)
8. Представляем отрицательную степень в знаменателе: \(30a^{-1}b^{7} = \frac{30b^{7}}{a}\)

Ответ: \(\frac{30b^{7}}{a}\)