Simplify the following expression: \(\left(\frac{5a}{6b^{-1}}\right)^{-2} \cdot 10a^{3}b^{4}\)

Решение:

1. Применим свойство степени \( \left(\frac{x}{y}\right)^n = \frac{x^n}{y^n} \) и \( \left(x^m\right)^n = x^{mn} \):
   \( \left(\frac{5a}{6b^{-1}}\right)^{-2} = \frac{(5a)^{-2}}{(6b^{-1})^{-2}} = \frac{5^{-2}a^{-2}}{6^{-2}(b^{-1})^{-2}} = \frac{5^{-2}a^{-2}}{6^{-2}b^{2}} \)
2. Применим свойство степени \( x^{-n} = \frac{1}{x^n} \) и \( \frac{1}{x^{-n}} = x^n \):
   \( \frac{5^{-2}a^{-2}}{6^{-2}b^{2}} = \frac{6^2}{5^2} \cdot \frac{1}{a^2b^2} = \frac{36}{25a^2b^2} \)
3. Теперь умножим полученное выражение на \( 10a^{3}b^{4} \):
   \( \frac{36}{25a^2b^2} \cdot 10a^{3}b^{4} \)
4. Сократим дробь:
   \( \frac{36 \cdot 10 \cdot a^3 \cdot b^4}{25 \cdot a^2 \cdot b^2} = \frac{360 a^3 b^4}{25 a^2 b^2} \)
5. Упростим коэффициенты и степени:
   \( \frac{360}{25} = \frac{72}{5} \)
   \( \frac{a^3}{a^2} = a^{3-2} = a \)
   \( \frac{b^4}{b^2} = b^{4-2} = b^2 \)
6. Объединим упрощенные части:
   \( \frac{72}{5} a b^2 \)

Ответ: \( \frac{72ab^2}{5} \).