Simplify the following rational expressions: B) \(\frac{a^{3}-8a^{2}+20a-16}{a^{3}-6a^{2}+12a-8}\) Г) \(\frac{1-3a+3a^{2}-a^{3}}{a^{3}-4a^{2}+5a-2}\)

Решение:

Задание B:

• Числитель: \(a^{3}-8a^{2}+20a-16\)
• Знаменатель: \(a^{3}-6a^{2}+12a-8\)

Заметим, что знаменатель является разложением куба разности: \((a-2)^{3} = a^{3}-6a^{2}+12a-8\).

Теперь попробуем разложить числитель. Попробуем подставить \(a=2\): \(2^{3}-8(2^{2})+20(2)-16 = 8-32+40-16 = 0\). Значит, \((a-2)\) является множителем.

Разделим числитель на \((a-2)\) столбиком или по схеме Горнера:

  1  -8   20  -16 | 2
    2  -12   16
------------------
  1  -6    8    0

Получаем: \(a^{3}-8a^{2}+20a-16 = (a-2)(a^{2}-6a+8)\).

Квадратный трехчлен \(a^{2}-6a+8\) раскладывается на множители \((a-2)(a-4)\).

Таким образом, числитель равен: \((a-2)(a-2)(a-4) = (a-2)^{2}(a-4)\).

Теперь упростим дробь:

\(\frac{(a-2)^{2}(a-4)}{(a-2)^{3}} = \frac{a-4}{a-2}\)

Задание Г:

• Числитель: \(1-3a+3a^{2}-a^{3}\)
• Знаменатель: \(a^{3}-4a^{2}+5a-2\)

Числитель является разложением куба разности: \((1-a)^{3} = 1-3a+3a^{2}-a^{3}\).

Теперь разложим знаменатель. Попробуем подставить \(a=1\): \(1^{3}-4(1^{2})+5(1)-2 = 1-4+5-2 = 0\). Значит, \((a-1)\) является множителем.

Разделим знаменатель на \((a-1)\) столбиком или по схеме Горнера:

  1  -4   5  -2 | 1
    1  -3   2
------------------
  1  -3   2   0

Получаем: \(a^{3}-4a^{2}+5a-2 = (a-1)(a^{2}-3a+2)\).

Квадратный трехчлен \(a^{2}-3a+2\) раскладывается на множители \((a-1)(a-2)\).

Таким образом, знаменатель равен: \((a-1)(a-1)(a-2) = (a-1)^{2}(a-2)\).

Теперь упростим дробь:

\(\frac{(1-a)^{3}}{(a-1)^{2}(a-2)}\)

Заметим, что \((1-a)^{3} = (-1(a-1))^{3} = -(a-1)^{3}\).

\(\frac{-(a-1)^{3}}{(a-1)^{2}(a-2)} = \frac{-(a-1)}{a-2} = \frac{1-a}{a-2}\)

Финальный ответ:

Ответ: B) , Г)