sin²x + 5sinx cosx - 5cos²x + 3 = 0

Решение тригонометрического уравнения: $$sin^2x + 5sinx \cdot cosx - 5cos^2x + 3 = 0$$ Преобразуем уравнение, используя основное тригонометрическое тождество $$sin^2x + cos^2x = 1$$. Заменим 3 на $$3(sin^2x + cos^2x)$$: $$sin^2x + 5sinx \cdot cosx - 5cos^2x + 3(sin^2x + cos^2x) = 0$$ $$sin^2x + 5sinx \cdot cosx - 5cos^2x + 3sin^2x + 3cos^2x = 0$$ $$4sin^2x + 5sinx \cdot cosx - 2cos^2x = 0$$ Разделим обе части уравнения на $$cos^2x$$ (при условии, что $$cosx ≠ 0$$): $$\frac{4sin^2x}{cos^2x} + \frac{5sinx \cdot cosx}{cos^2x} - \frac{2cos^2x}{cos^2x} = 0$$ $$4tan^2x + 5tanx - 2 = 0$$ Введем замену $$t = tanx$$, тогда уравнение примет вид: $$4t^2 + 5t - 2 = 0$$ Решим квадратное уравнение относительно t: $$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 25 + 32 = 57$$ $$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{57}}{8}$$ $$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{57}}{8}$$ Тогда: $$tanx = \frac{-5 + \sqrt{57}}{8}$$ $$x_1 = arctan(\frac{-5 + \sqrt{57}}{8}) + \pi k, k \in Z$$ $$tanx = \frac{-5 - \sqrt{57}}{8}$$ $$x_2 = arctan(\frac{-5 - \sqrt{57}}{8}) + \pi n, n \in Z$$ Если $$cosx = 0$$, то $$x = \frac{\pi}{2} + \pi m$$, где $$m \in Z$$. Подставим это в исходное уравнение: $$sin^2(\frac{\pi}{2} + \pi m) + 5sin(\frac{\pi}{2} + \pi m)cos(\frac{\pi}{2} + \pi m) - 5cos^2(\frac{\pi}{2} + \pi m) + 3 = 0$$ Так как $$cos(\frac{\pi}{2} + \pi m) = 0$$, то уравнение упрощается до: $$sin^2(\frac{\pi}{2} + \pi m) + 3 = 0$$ $$1 + 3 = 0$$ $$4 = 0$$ Это неверно, следовательно, $$cosx ≠ 0$$. Ответ: $$x_1 = arctan(\frac{-5 + \sqrt{57}}{8}) + \pi k, k \in Z$$ $$x_2 = arctan(\frac{-5 - \sqrt{57}}{8}) + \pi n, n \in Z$$