Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика6) 3 sin²x-5 sinx-2=0; r) 4 sin²x+11 sin x-3=0. 6) 2 sin²x + 3cosx=0; r) 5 sin²x+6cosx-6=0. б) cos²x+3 sin x=3; r) 8 sin² x + cosx+1=0. 6) tgx-2 ctg x+1=0; r) 2 ctg x -3 tgx+5=0. б) 4 cos²x-3=0;
Ответ:
Решение тригонометрических уравнений
1. Уравнение: 3 sin²x - 5 sinx - 2 = 0
Пусть t = sin x, тогда уравнение принимает вид:
\[3t^2 - 5t - 2 = 0\]Решим квадратное уравнение:
\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49\] \[t_1 = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2\] \[t_2 = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\]Так как -1 ≤ sin x ≤ 1, то t₁ = 2 не является решением. Остается:
\[sin x = -\frac{1}{3}\] \[x = (-1)^n arcsin(-\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[x = (-1)^{n+1} arcsin(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]2. Уравнение: 4 sin²x + 11 sin x - 3 = 0
Пусть t = sin x, тогда уравнение принимает вид:
\[4t^2 + 11t - 3 = 0\]Решим квадратное уравнение:
\[D = 11^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169\] \[t_1 = \frac{-11 + 13}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\] \[t_2 = \frac{-11 - 13}{8} = \frac{-24}{8} = -3\]Так как -1 ≤ sin x ≤ 1, то t₂ = -3 не является решением. Остается:
\[sin x = \frac{1}{4}\] \[x = (-1)^n arcsin(\frac{1}{4}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]3. Уравнение: 2 sin²x + 3 cosx = 0
Используем основное тригонометрическое тождество sin²x + cos²x = 1, тогда sin²x = 1 - cos²x:
\[2(1 - cos²x) + 3 cosx = 0\] \[2 - 2 cos²x + 3 cosx = 0\] \[2 cos²x - 3 cosx - 2 = 0\]Пусть t = cos x, тогда уравнение принимает вид:
\[2t^2 - 3t - 2 = 0\]Решим квадратное уравнение:
\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25\] \[t_1 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2\] \[t_2 = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\]Так как -1 ≤ cos x ≤ 1, то t₁ = 2 не является решением. Остается:
\[cos x = -\frac{1}{2}\] \[x = \pm arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\]4. Уравнение: 5 sin²x + 6 cosx - 6 = 0
Используем основное тригонометрическое тождество sin²x + cos²x = 1, тогда sin²x = 1 - cos²x:
\[5(1 - cos²x) + 6 cosx - 6 = 0\] \[5 - 5 cos²x + 6 cosx - 6 = 0\] \[-5 cos²x + 6 cosx - 1 = 0\] \[5 cos²x - 6 cosx + 1 = 0\]Пусть t = cos x, тогда уравнение принимает вид:
\[5t^2 - 6t + 1 = 0\]Решим квадратное уравнение:
\[D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16\] \[t_1 = \frac{6 + 4}{10} = \frac{10}{10} = 1\] \[t_2 = \frac{6 - 4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}\]Тогда:
\[cos x = 1\] \[x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\]или
\[cos x = \frac{1}{5}\] \[x = \pm arccos(\frac{1}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\]5. Уравнение: cos²x + 3 sin x = 3
Используем основное тригонометрическое тождество sin²x + cos²x = 1, тогда cos²x = 1 - sin²x:
\[1 - sin²x + 3 sin x = 3\] \[sin²x - 3 sin x + 2 = 0\]Пусть t = sin x, тогда уравнение принимает вид:
\[t^2 - 3t + 2 = 0\]Решим квадратное уравнение:
\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1\] \[t_1 = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2\] \[t_2 = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1\]Так как -1 ≤ sin x ≤ 1, то t₁ = 2 не является решением. Остается:
\[sin x = 1\] \[x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\]6. Уравнение: 8 sin²x + cosx + 1 = 0
Используем основное тригонометрическое тождество sin²x + cos²x = 1, тогда sin²x = 1 - cos²x:
\[8(1 - cos²x) + cosx + 1 = 0\] \[8 - 8 cos²x + cosx + 1 = 0\] \[-8 cos²x + cosx + 9 = 0\] \[8 cos²x - cosx - 9 = 0\]Пусть t = cos x, тогда уравнение принимает вид:
\[8t^2 - t - 9 = 0\]Решим квадратное уравнение:
\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-9) = 1 + 288 = 289\] \[t_1 = \frac{1 + 17}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}\] \[t_2 = \frac{1 - 17}{16} = \frac{-16}{16} = -1\]Так как -1 ≤ cos x ≤ 1, то t₁ = 9/8 не является решением. Остается:
\[cos x = -1\] \[x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\]7. Уравнение: tgx - 2 ctg x + 1 = 0
Используем ctg x = 1 / tg x:
\[tgx - \frac{2}{tg x} + 1 = 0\]Пусть t = tg x, тогда уравнение принимает вид:
\[t - \frac{2}{t} + 1 = 0\] \[t^2 + t - 2 = 0\]Решим квадратное уравнение:
\[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\] \[t_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\] \[t_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2\]Тогда:
\[tg x = 1\] \[x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]или
\[tg x = -2\] \[x = arctg(-2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[x = -arctg(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]8. Уравнение: 2 ctg x - 3 tgx + 5 = 0
Используем ctg x = 1 / tg x:
\[\frac{2}{tg x} - 3 tgx + 5 = 0\]Пусть t = tg x, тогда уравнение принимает вид:
\[\frac{2}{t} - 3t + 5 = 0\] \[-3t^2 + 5t + 2 = 0\] \[3t^2 - 5t - 2 = 0\]Решим квадратное уравнение:
\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49\] \[t_1 = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2\] \[t_2 = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\]Тогда:
\[tg x = 2\] \[x = arctg(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]или
\[tg x = -\frac{1}{3}\] \[x = arctg(-\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[x = -arctg(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]9. Уравнение: 4 cos²x - 3 = 0
\[4 cos²x = 3\] \[cos²x = \frac{3}{4}\] \[cos x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}\] \[cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\]Тогда:
\[x = \pm arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\]или
\[x = \pm arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\]Ответ: решения тригонометрических уравнений выше
Ты проделал отличную работу, продолжай в том же духе!
