6) 3 sin²x-5 sinx-2=0; r) 4 sin²x+11 sin x-3=0. б) 2 sin²x + 3cosx=0; r) 5 sin²x + 6 cos x-6=0. 6) cos²x+3 sin x=3; r) 8 sin²x + cosx+1=0. 6) tgx-2 ctg x+1=0; r) 2 ctg x-3 tgx+5=0. б) 4 cos²x-3=0; г) 4 sin²x-1=0.

Решение тригонометрических уравнений.

6) \(3\sin^2 x - 5\sin x - 2 = 0\) Пусть \(\sin x = t\), тогда уравнение примет вид: \(3t^2 - 5t - 2 = 0\) Решим квадратное уравнение: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49\) \(t_1 = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2\) \(t_2 = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\) Так как \(\sin x = t\), то: \(\sin x = 2\) (не имеет решений, так как \(|\sin x| \le 1\)) \(\sin x = -\frac{1}{3}\) \(x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\) \(x = (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\) г) \(4\sin^2 x + 11\sin x - 3 = 0\) Пусть \(\sin x = t\), тогда уравнение примет вид: \(4t^2 + 11t - 3 = 0\) Решим квадратное уравнение: \(D = 11^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169\) \(t_1 = \frac{-11 + 13}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\) \(t_2 = \frac{-11 - 13}{8} = \frac{-24}{8} = -3\) Так как \(\sin x = t\), то: \(\sin x = \frac{1}{4}\) \(x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\) \(\sin x = -3\) (не имеет решений, так как \(|\sin x| \le 1\)) б) \(2\sin^2 x + 3\cos x = 0\) Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), откуда \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\): \(2(1 - \cos^2 x) + 3\cos x = 0\) \(2 - 2\cos^2 x + 3\cos x = 0\) \(-2\cos^2 x + 3\cos x + 2 = 0\) Пусть \(\cos x = t\), тогда уравнение примет вид: \(-2t^2 + 3t + 2 = 0\) Решим квадратное уравнение: \(D = 3^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 2 = 9 + 16 = 25\) \(t_1 = \frac{-3 + 5}{-4} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}\) \(t_2 = \frac{-3 - 5}{-4} = \frac{-8}{-4} = 2\) Так как \(\cos x = t\), то: \(\cos x = -\frac{1}{2}\) \(x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\) \(x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\) \(\cos x = 2\) (не имеет решений, так как \(|\cos x| \le 1\)) г) \(5\sin^2 x + 6\cos x - 6 = 0\) Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), откуда \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\): \(5(1 - \cos^2 x) + 6\cos x - 6 = 0\) \(5 - 5\cos^2 x + 6\cos x - 6 = 0\) \(-5\cos^2 x + 6\cos x - 1 = 0\) Пусть \(\cos x = t\), тогда уравнение примет вид: \(-5t^2 + 6t - 1 = 0\) Решим квадратное уравнение: \(D = 6^2 - 4 \cdot (-5) \cdot (-1) = 36 - 20 = 16\) \(t_1 = \frac{-6 + 4}{-10} = \frac{-2}{-10} = \frac{1}{5}\) \(t_2 = \frac{-6 - 4}{-10} = \frac{-10}{-10} = 1\) Так как \(\cos x = t\), то: \(\cos x = \frac{1}{5}\) \(x = \pm \arccos(\frac{1}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\) \(\cos x = 1\) \(x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\) 6) \(\cos^2 x + 3\sin x = 3\) Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), откуда \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\): \(1 - \sin^2 x + 3\sin x = 3\) \(-\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0\) Пусть \(\sin x = t\), тогда уравнение примет вид: \(-t^2 + 3t - 2 = 0\) Решим квадратное уравнение: \(D = 3^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-2) = 9 - 8 = 1\) \(t_1 = \frac{-3 + 1}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1\) \(t_2 = \frac{-3 - 1}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2\) Так как \(\sin x = t\), то: \(\sin x = 1\) \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\) \(\sin x = 2\) (не имеет решений, так как \(|\sin x| \le 1\)) г) \(8\sin^2 x + \cos x + 1 = 0\) Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), откуда \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\): \(8(1 - \cos^2 x) + \cos x + 1 = 0\) \(8 - 8\cos^2 x + \cos x + 1 = 0\) \(-8\cos^2 x + \cos x + 9 = 0\) Пусть \(\cos x = t\), тогда уравнение примет вид: \(-8t^2 + t + 9 = 0\) Решим квадратное уравнение: \(D = 1^2 - 4 \cdot (-8) \cdot 9 = 1 + 288 = 289\) \(t_1 = \frac{-1 + 17}{-16} = \frac{16}{-16} = -1\) \(t_2 = \frac{-1 - 17}{-16} = \frac{-18}{-16} = \frac{9}{8}\) Так как \(\cos x = t\), то: \(\cos x = -1\) \(x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\) \(\cos x = \frac{9}{8}\) (не имеет решений, так как \(|\cos x| \le 1\)) 6) \(\tan x - 2 \cot x + 1 = 0\) Используем \(\cot x = \frac{1}{\tan x}\): \(\tan x - \frac{2}{\tan x} + 1 = 0\) Пусть \(\tan x = t\), тогда уравнение примет вид: \(t - \frac{2}{t} + 1 = 0\) Умножим обе части уравнения на \(t\): \(t^2 + t - 2 = 0\) Решим квадратное уравнение: \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\) \(t_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\) \(t_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2\) Так как \(\tan x = t\), то: \(\tan x = 1\) \(x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\) \(\tan x = -2\) \(x = \arctan(-2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\) \(x = -\arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\) г) \(2 \cot x - 3 \tan x + 5 = 0\) Используем \(\cot x = \frac{1}{\tan x}\): \(\frac{2}{\tan x} - 3 \tan x + 5 = 0\) Пусть \(\tan x = t\), тогда уравнение примет вид: \(\frac{2}{t} - 3t + 5 = 0\) Умножим обе части уравнения на \(t\): \(-3t^2 + 5t + 2 = 0\) Решим квадратное уравнение: \(D = 5^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 2 = 25 + 24 = 49\) \(t_1 = \frac{-5 + 7}{-6} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}\) \(t_2 = \frac{-5 - 7}{-6} = \frac{-12}{-6} = 2\) Так как \(\tan x = t\), то: \(\tan x = -\frac{1}{3}\) \(x = \arctan(-\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\) \(x = -\arctan(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\) \(\tan x = 2\) \(x = \arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\) б) \(4 \cos^2 x - 3 = 0\) \(\cos^2 x = \frac{3}{4}\) \(\cos x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\) \(x = \pm \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\) \(x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\) \(x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\) \(x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\) г) \(4 \sin^2 x - 1 = 0\) \(\sin^2 x = \frac{1}{4}\) \(\sin x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}\) \(x = \arcsin(\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\) \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\) \(x = \pi - \arcsin(\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\) \(x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\) \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\) \(x = \arcsin(-\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\) \(x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\) \(x = \pi - \arcsin(-\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\) \(x = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\) \(x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\)

Ответ: решения тригонометрических уравнений выше.

Отлично! У тебя все прекрасно получается. Продолжай в том же духе, и ты достигнешь больших успехов! Удачи в дальнейшем изучении математики! Молодец!