6) 3 sin²x-5 sinx-2=0; r) 4 sin2x+11 sinx-3=0. 6) 2 sin²x +3 cos x=0; r) 5 sin²x+6cosx-6=0. 6) cos²x + 3 sin x=3; r) 8 sin²x + cosx+1=0. 6) tgx-2 ctg x+1=0; r) 2 ctg x-3 tgx+5=0. 2 б) 4 cos²x-3=0; r) 4 sin2x-1=0.

Решение тригонометрических уравнений

6) \[3\sin^2 x - 5\sin x - 2 = 0\] Пусть \(t = \sin x\), тогда уравнение принимает вид: \[3t^2 - 5t - 2 = 0\] Решаем квадратное уравнение: \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49\] \[t_1 = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2\] \[t_2 = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\] Так как \(\sin x\) не может быть равен 2, то остается только один вариант: \[\sin x = -\frac{1}{3}\] \[x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[x = (-1)^{n+1} \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] г) \[4\sin^2 x + 11\sin x - 3 = 0\] Пусть \(t = \sin x\), тогда уравнение принимает вид: \[4t^2 + 11t - 3 = 0\] Решаем квадратное уравнение: \[D = (11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169\] \[t_1 = \frac{-11 + 13}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\] \[t_2 = \frac{-11 - 13}{8} = \frac{-24}{8} = -3\] Так как \(\sin x\) не может быть равен -3, то остается только один вариант: \[\sin x = \frac{1}{4}\] \[x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] 6) \[2\sin^2 x + 3\cos x = 0\] Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), чтобы выразить \(\sin^2 x\) через \(\cos^2 x\): \[2(1 - \cos^2 x) + 3\cos x = 0\]\[2 - 2\cos^2 x + 3\cos x = 0\] \[2\cos^2 x - 3\cos x - 2 = 0\] Пусть \(t = \cos x\), тогда уравнение принимает вид: \[2t^2 - 3t - 2 = 0\] Решаем квадратное уравнение: \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25\] \[t_1 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2\] \[t_2 = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\] Так как \(\cos x\) не может быть равен 2, то остается только один вариант: \[\cos x = -\frac{1}{2}\] \[x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\] г) \[5\sin^2 x + 6\cos x - 6 = 0\] Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), чтобы выразить \(\sin^2 x\) через \(\cos^2 x\): \[5(1 - \cos^2 x) + 6\cos x - 6 = 0\]\[5 - 5\cos^2 x + 6\cos x - 6 = 0\] \[5\cos^2 x - 6\cos x + 1 = 0\] Пусть \(t = \cos x\), тогда уравнение принимает вид: \[5t^2 - 6t + 1 = 0\] Решаем квадратное уравнение: \[D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16\] \[t_1 = \frac{6 + 4}{10} = \frac{10}{10} = 1\] \[t_2 = \frac{6 - 4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}\] \[\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[\cos x = \frac{1}{5} \Rightarrow x = \pm \arccos\left(\frac{1}{5}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\] 6) \[\cos^2 x + 3\sin x = 3\] Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), чтобы выразить \(\cos^2 x\) через \(\sin^2 x\): \[1 - \sin^2 x + 3\sin x = 3\]\[\sin^2 x - 3\sin x + 2 = 0\] Пусть \(t = \sin x\), тогда уравнение принимает вид: \[t^2 - 3t + 2 = 0\] Решаем квадратное уравнение: \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1\] \[t_1 = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2\] \[t_2 = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1\] Так как \(\sin x\) не может быть равен 2, то остается только один вариант: \[\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\] г) \[8\sin^2 x + \cos x + 1 = 0\] Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), чтобы выразить \(\sin^2 x\) через \(\cos^2 x\): \[8(1 - \cos^2 x) + \cos x + 1 = 0\]\[8 - 8\cos^2 x + \cos x + 1 = 0\] \[8\cos^2 x - \cos x - 9 = 0\] Пусть \(t = \cos x\), тогда уравнение принимает вид: \[8t^2 - t - 9 = 0\] Решаем квадратное уравнение: \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-9) = 1 + 288 = 289\] \[t_1 = \frac{1 + 17}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}\] \[t_2 = \frac{1 - 17}{16} = \frac{-16}{16} = -1\] Так как \(\cos x\) не может быть равен \(\frac{9}{8}\), то остается только один вариант: \[\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\] 6) \[\operatorname{tg} x - 2 \operatorname{ctg} x + 1 = 0\] Т.к. \(\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}\), то получим: \[\operatorname{tg} x - \frac{2}{\operatorname{tg} x} + 1 = 0\] Пусть \(t = \operatorname{tg} x\), тогда уравнение принимает вид: \[t - \frac{2}{t} + 1 = 0\]\[t^2 + t - 2 = 0\] Решаем квадратное уравнение: \[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\] \[t_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \Rightarrow \operatorname{tg} x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[t_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \Rightarrow \operatorname{tg} x = -2 \Rightarrow x = \arctan(-2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] г) \[2 \operatorname{ctg} x - 3 \operatorname{tg} x + 5 = 0\] Т.к. \(\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}\), то получим: \[\frac{2}{\operatorname{tg} x} - 3 \operatorname{tg} x + 5 = 0\] Пусть \(t = \operatorname{tg} x\), тогда уравнение принимает вид: \[\frac{2}{t} - 3t + 5 = 0\]\[-3t^2 + 5t + 2 = 0\] \[3t^2 - 5t - 2 = 0\] Решаем квадратное уравнение: \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49\] \[t_1 = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2 \Rightarrow \operatorname{tg} x = 2 \Rightarrow x = \arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[t_2 = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \Rightarrow \operatorname{tg} x = -\frac{1}{3} \Rightarrow x = \arctan\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] б) \[4\cos^2 x - 3 = 0\] \[\cos^2 x = \frac{3}{4}\] \[\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\] г) \[4\sin^2 x - 1 = 0\] \[\sin^2 x = \frac{1}{4}\] \[\sin x = \pm \frac{1}{2}\] \[x = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[x = \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[x = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\]

Ответ: Решения уравнений выше.

Все получилось просто отлично! Уверен, что у тебя все и дальше будет получаться также здорово! Продолжай в том же духе!