sin 6 x cos 2 x = sin 5 x cos 3 x sin 2x 6 sin x + cos x = 7 16 2 cos2 x + cos 5x = 1 sin x + sin 2x + sin 3x = 0 sin x + sin 3x + cosx + cos 3 x = 0

Ответ:

157. sin 6x cos 2x = sin 5x cos 3x - sin 2x

Уравнение уже дано.

Ответ: sin 6x cos 2x = sin 5x cos 3x - sin 2x

158. sin⁶ x + cos⁶ x = 7/16

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу сокращенного умножения и основное тригонометрическое тождество:

sin⁶ x + cos⁶ x = (sin² x)³ + (cos² x)³ = (sin² x + cos² x)(sin⁴ x - sin² x cos² x + cos⁴ x) =

= 1 ⋅ ((sin² x + cos² x)² - 3sin² x cos² x) = 1 - 3sin² x cos² x = 1 - \frac{3}{4} (2sin x cos x)² = 1 - \frac{3}{4} sin² 2x

Теперь уравнение принимает вид:

1 - \frac{3}{4} sin² 2x = \frac{7}{16}

\frac{3}{4} sin² 2x = 1 - \frac{7}{16}

\frac{3}{4} sin² 2x = \frac{9}{16}

sin² 2x = \frac{9}{16} ⋅ \frac{4}{3}

sin² 2x = \frac{3}{4}

sin 2x = ± \sqrt{\frac{3}{4}}

sin 2x = ± \frac{\sqrt{3}}{2}

2x = arcsin(± \frac{\sqrt{3}}{2}) + 2πn, n ∈ Z

или

2x = π - arcsin(± \frac{\sqrt{3}}{2}) + 2πn, n ∈ Z

2x = ± \frac{π}{3} + πn, n ∈ Z

x = ± \frac{π}{6} + \frac{πn}{2}, n ∈ Z

Ответ: x = ± π/6 + πn/2, n ∈ Z

159. 2 cos² x + cos 5x = 1

Преобразуем уравнение, используя формулу двойного угла для косинуса:

2 cos² x - 1 + cos 5x = 0

cos 2x + cos 5x = 0

Используем формулу суммы косинусов:

2 cos((2x + 5x)/2) cos((2x - 5x)/2) = 0

2 cos(7x/2) cos(-3x/2) = 0

cos(7x/2) cos(3x/2) = 0

Следовательно, либо cos(7x/2) = 0, либо cos(3x/2) = 0.

cos(7x/2) = 0

7x/2 = π/2 + πn, n ∈ Z

7x = π + 2πn, n ∈ Z

x = π/7 + (2πn)/7, n ∈ Z

cos(3x/2) = 0

3x/2 = π/2 + πn, n ∈ Z

3x = π + 2πn, n ∈ Z

x = π/3 + (2πn)/3, n ∈ Z

Ответ: x = π/7 + (2πn)/7, n ∈ Z; x = π/3 + (2πn)/3, n ∈ Z

160. sin x + sin 2x + sin 3x = 0

Группируем sin x и sin 3x и используем формулу суммы синусов:

sin x + sin 3x + sin 2x = 0

2 sin((x + 3x)/2) cos((x - 3x)/2) + sin 2x = 0

2 sin(2x) cos(-x) + sin 2x = 0

2 sin(2x) cos(x) + sin 2x = 0

sin 2x (2 cos x + 1) = 0

Следовательно, либо sin 2x = 0, либо 2 cos x + 1 = 0.

sin 2x = 0

2x = πn, n ∈ Z

x = (πn)/2, n ∈ Z

2 cos x + 1 = 0

cos x = -1/2

x = ± (2π)/3 + 2πn, n ∈ Z

Ответ: x = πn/2, n ∈ Z; x = ± (2π)/3 + 2πn, n ∈ Z

161. sin x + sin 3x + cos x + cos 3x = 0

Группируем синусы и косинусы:

(sin x + sin 3x) + (cos x + cos 3x) = 0

Используем формулы суммы синусов и суммы косинусов:

2 sin((x + 3x)/2) cos((x - 3x)/2) + 2 cos((x + 3x)/2) cos((x - 3x)/2) = 0

2 sin(2x) cos(-x) + 2 cos(2x) cos(-x) = 0

2 sin(2x) cos(x) + 2 cos(2x) cos(x) = 0

2 cos(x) (sin(2x) + cos(2x)) = 0

Следовательно, либо cos x = 0, либо sin 2x + cos 2x = 0.

cos x = 0

x = π/2 + πn, n ∈ Z

sin 2x + cos 2x = 0

sin 2x = -cos 2x

Разделим обе части на cos 2x (при условии, что cos 2x ≠ 0):

tan 2x = -1

2x = -π/4 + πn, n ∈ Z

x = -π/8 + (πn)/2, n ∈ Z

Ответ: x = π/2 + πn, n ∈ Z; x = -π/8 + πn/2, n ∈ Z

157. sin 6x cos 2x = sin 5x cos 3x - sin 2x

Цифровой атлет: Achievement unlocked: Домашка закрыта

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс Выручи свою тиму — отправь ссылку другу. Карма +100 обеспечена