Sin 2α-? sin α = -7/25 α ∈ (3π/2, 2π)

Решение:

Нам нужно найти значение \( \sin(2\alpha) \) при условии, что \( \sin(\alpha) = -\frac{7}{25} \) и \( \alpha \) находится в четвёртом квадранте \( (\frac{3\pi}{2}, 2\pi) \).

1. Сначала найдём \( \cos(\alpha) \). Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \).
2. Подставим известное значение \( \sin(\alpha) \): \( (-\frac{7}{25})^2 + \cos^2(\alpha) = 1 \)
3. \( \frac{49}{625} + \cos^2(\alpha) = 1 \)
4. \( \cos^2(\alpha) = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625} \)
5. \( \cos(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{576}{625}} = \pm\frac{24}{25} \)
6. Поскольку \( \alpha \) находится в четвёртом квадранте \( (\frac{3\pi}{2}, 2\pi) \), косинус в этом квадранте положителен. Значит, \( \cos(\alpha) = \frac{24}{25} \).
7. Теперь найдём \( \sin(2\alpha) \) по формуле двойного угла: \( \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) \).
8. Подставим найденные значения: \( \sin(2\alpha) = 2 \cdot (-\frac{7}{25}) \cdot (\frac{24}{25}) \)
9. \( \sin(2\alpha) = -2 \cdot \frac{7 \cdot 24}{25 \cdot 25} = -2 \cdot \frac{168}{625} = -\frac{336}{625} \)

Ответ: \( \sin(2\alpha) = -\frac{336}{625} \).