sin^2x + 2sinx*cosx - 3cos^2x = 0

Привет! Давай разберемся с этим уравнением вместе.

У нас есть уравнение:

• \[ \sin^2x + 2\sin x \cdot \cos x - 3\cos^2x = 0 \]

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Чтобы его решить, мы можем разделить обе части уравнения на cos^2x. Но сначала убедимся, что cos x не равен нулю. Если бы cos x = 0, то sin x = ±1. Подставив это в исходное уравнение, получим 1 + 0 - 0 = 0, что неверно. Значит, cos x ≠ 0, и мы можем безопасно делить.

1. Делим обе части на cos^2x:
• \[ \frac{\sin^2x}{\cos^2x} + \frac{2\sin x \cdot \cos x}{\cos^2x} - \frac{3\cos^2x}{\cos^2x} = \frac{0}{\cos^2x} \]
2. Упрощаем:
• \[ \operatorname{tg}^2x + 2\operatorname{tg} x - 3 = 0 \]
3. Вводим замену: Пусть t = tg x. Тогда уравнение примет вид:
• \[ t^2 + 2t - 3 = 0 \]
4. Решаем квадратное уравнение: Найдем корни этого уравнения. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. По теореме Виета:
• \[ t_1 + t_2 = -2 \]
• \[ t_1 t t_2 = -3 \]
5. Корни: t_1 = 1 и t_2 = -3.
6. Возвращаемся к замене:
• Случай 1: tg x = 1
• \[ x = \operatorname{arctg}(1) + \pi n \]
• \[ x = \frac{\pi}{4} + \pi n \], где n — целое число.
• Случай 2: tg x = -3
• \[ x = \operatorname{arctg}(-3) + \pi k \], где k — целое число.

Ответ:

• \[ x = \frac{\pi}{4} + \pi n \], где n ∈ Z
• \[ x = \operatorname{arctg}(-3) + \pi k \], где k ∈ Z