2 sin x + √2 = 0. cos (x/2 + π/4) + 1 = 0. sin²x - 2 cosx + 2 = 0. sin x cosx + 2 sin² x = cos² x. 3 sin²x - 4 sin x cosx + 5 cos²x = 2. sin 3x = cos 3x, [0;4].

Вариант 1. Решите уравнения:

1. Уравнение 1: 2 sin x + √2 = 0

• Выразим sin x:
  2 sin x = -√2
  sin x = -√2 / 2
• Найдем значения x:
  x = -π/4 + 2πk, где k ∈ Z
  x = 5π/4 + 2πk, где k ∈ Z

Ответ: x = -π/4 + 2πk, x = 5π/4 + 2πk, k ∈ Z

2. Уравнение 2: cos(x/2 + π/4) + 1 = 0

• Выразим cos(x/2 + π/4):
  cos(x/2 + π/4) = -1
• Найдем значения x/2 + π/4:
  x/2 + π/4 = π + 2πk, где k ∈ Z
• Выразим x:
  x/2 = π - π/4 + 2πk
  x/2 = 3π/4 + 2πk
  x = 3π/2 + 4πk, где k ∈ Z

Ответ: x = 3π/2 + 4πk, k ∈ Z

3. Уравнение 3: sin²x - 2 cosx + 2 = 0

• Заменим sin²x на 1 - cos²x:
  1 - cos²x - 2 cosx + 2 = 0
  -cos²x - 2 cosx + 3 = 0
  cos²x + 2 cosx - 3 = 0
• Пусть y = cosx, тогда:
  y² + 2y - 3 = 0
• Решим квадратное уравнение:
  D = 2² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16
  y₁ = (-2 + √16) / 2 = (-2 + 4) / 2 = 1
  y₂ = (-2 - √16) / 2 = (-2 - 4) / 2 = -3 (не подходит, так как |cosx| ≤ 1)
• Вернемся к cosx:
  cosx = 1
  x = 2πk, где k ∈ Z

Ответ: x = 2πk, k ∈ Z

4. Уравнение 4: sin x cosx + 2 sin² x = cos² x

• Перенесем все в одну сторону:
  sin x cosx + 2 sin² x - cos² x = 0
• Разделим обе части на cos² x (если cos x ≠ 0):
  tan x + 2 tan² x - 1 = 0
  2 tan² x + tan x - 1 = 0
• Пусть y = tan x, тогда:
  2y² + y - 1 = 0
• Решим квадратное уравнение:
  D = 1² - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9
  y₁ = (-1 + √9) / 4 = (-1 + 3) / 4 = 1/2
  y₂ = (-1 - √9) / 4 = (-1 - 3) / 4 = -1
• Вернемся к tan x:
  tan x = 1/2 => x = arctan(1/2) + πk, где k ∈ Z
  tan x = -1 => x = -π/4 + πk, где k ∈ Z

Ответ: x = arctan(1/2) + πk, x = -π/4 + πk, k ∈ Z

5. Уравнение 5: 3 sin²x - 4 sin x cosx + 5 cos²x = 2

• Заменим 2 на 2(sin²x + cos²x):
  3 sin²x - 4 sin x cosx + 5 cos²x = 2(sin²x + cos²x)
  3 sin²x - 4 sin x cosx + 5 cos²x = 2 sin²x + 2 cos²x
  sin²x - 4 sin x cosx + 3 cos²x = 0
• Разделим обе части на cos² x (если cos x ≠ 0):
  tan²x - 4 tan x + 3 = 0
• Пусть y = tan x, тогда:
  y² - 4y + 3 = 0
• Решим квадратное уравнение:
  D = (-4)² - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4
  y₁ = (4 + √4) / 2 = (4 + 2) / 2 = 3
  y₂ = (4 - √4) / 2 = (4 - 2) / 2 = 1
• Вернемся к tan x:
  tan x = 3 => x = arctan(3) + πk, где k ∈ Z
  tan x = 1 => x = π/4 + πk, где k ∈ Z

Ответ: x = arctan(3) + πk, x = π/4 + πk, k ∈ Z

6. Уравнение 6: sin 3x = cos 3x, принадлежащие отрезку [0;4]

• Разделим обе части на cos 3x (если cos 3x ≠ 0):
  tan 3x = 1
• Найдем значения 3x:
  3x = π/4 + πk, где k ∈ Z
• Выразим x:
  x = π/12 + πk/3, где k ∈ Z
• Найдем значения x на отрезке [0;4]:
  k = 0: x = π/12 ≈ 0.26
  k = 1: x = π/12 + π/3 = 5π/12 ≈ 1.31
  k = 2: x = π/12 + 2π/3 = 9π/12 = 3π/4 ≈ 2.36
  k = 3: x = π/12 + π = 13π/12 ≈ 3.40

Ответ: x = π/12, 5π/12, 3π/4, 13π/12