2sin x = √3 2. 4cos x - 4 = 0 3. 5 tgx + 5 = 0 4. sin 3x = 0 5. cos(x+) = - 6. tg = 0 7. sin (2x-) = 1 8. 3 cos = 0 9. 3 tg 5x = √3 10. sin2x + 3 sin x = 0 11. sin(cosx + 1) = 0 12. (cosx-1) (tg (x-)+1) = 0

Решение тригонометрических уравнений

Давай решим эти уравнения по порядку.

1. Уравнение 1: \(2 \sin x = \sqrt{3}\)

   Разделим обе части на 2: \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

   Решение: \(x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k\) или \(x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

2. Уравнение 2: \(4 \cos x - 4 = 0\)

   Прибавим 4 к обеим частям: \(4 \cos x = 4\)

   Разделим обе части на 4: \(\cos x = 1\)

   Решение: \(x = 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

3. Уравнение 3: \(5 \tan x + 5 = 0\)

   Вычтем 5 из обеих частей: \(5 \tan x = -5\)

   Разделим обе части на 5: \(\tan x = -1\)

   Решение: \(x = -\frac{\pi}{4} + \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

4. Уравнение 4: \(\sin 3x = 0\)

   Решение: \(3x = \pi k\), следовательно, \(x = \frac{\pi k}{3}\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

5. Уравнение 5: \(\cos(x + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}\)

   Решение: \(x + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k\) или \(x + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

   \(x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k\) или \(x = \pi + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

6. Уравнение 6: \(\tan(\frac{x}{3}) = 0\)

   Решение: \(\frac{x}{3} = \pi k\), следовательно, \(x = 3\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

7. Уравнение 7: \(\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = 1\)

   Решение: \(2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\)

   \(2x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k\)

   \(x = \frac{3\pi}{8} + \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

8. Уравнение 8: \(3 \cos(\frac{x}{3}) = 0\)

   Разделим обе части на 3: \(\cos(\frac{x}{3}) = 0\)

   Решение: \(\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k\), следовательно, \(x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

9. Уравнение 9: \(3 \tan 5x = \sqrt{3}\)

   Разделим обе части на 3: \(\tan 5x = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

   Решение: \(5x = \frac{\pi}{6} + \pi k\), следовательно, \(x = \frac{\pi}{30} + \frac{\pi k}{5}\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

10. Уравнение 10: \(\sin^2 x + 3 \sin x = 0\)

    Вынесем \(\sin x\) за скобки: \(\sin x (\sin x + 3) = 0\)

    Следовательно, \(\sin x = 0\) или \(\sin x = -3\)

    Так как \(\sin x\) не может быть равен -3, то \(\sin x = 0\)

    Решение: \(x = \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

11. Уравнение 11: \(\sin(\frac{x}{2}) (\cos x + 1) = 0\)

    Следовательно, \(\sin(\frac{x}{2}) = 0\) или \(\cos x + 1 = 0\)

    Если \(\sin(\frac{x}{2}) = 0\), то \(\frac{x}{2} = \pi k\), следовательно, \(x = 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

    Если \(\cos x + 1 = 0\), то \(\cos x = -1\), следовательно, \(x = \pi + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

    Решение: \(x = 2\pi k\) или \(x = \pi + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

12. Уравнение 12: \((\cos x - 1) (\tan(x - \frac{\pi}{4}) + 1) = 0\)

    Следовательно, \(\cos x - 1 = 0\) или \(\tan(x - \frac{\pi}{4}) + 1 = 0\)

    Если \(\cos x - 1 = 0\), то \(\cos x = 1\), следовательно, \(x = 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

    Если \(\tan(x - \frac{\pi}{4}) + 1 = 0\), то \(\tan(x - \frac{\pi}{4}) = -1\)

    Тогда \(x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi k\), следовательно, \(x = \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

    Решение: \(x = 2\pi k\) или \(x = \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: Решения приведены выше.

Отличная работа! Ты справился с решением всех этих уравнений. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!