sin 6x = 2cos(\frac{3\pi}{2} + 2x)

Для решения данного тригонометрического уравнения необходимо преобразовать правую часть уравнения, используя формулы приведения.

1. Применим формулу приведения:

$$cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = sin(\alpha)$$.

В нашем случае α = 2x, тогда:

$$cos(\frac{3\pi}{2} + 2x) = sin(2x)$$.

2. Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$$sin 6x = 2sin(2x)$$.

3. Используем формулу синуса двойного угла:

$$sin(2\alpha) = 2sin(\alpha)cos(\alpha)$$.

Применим формулу синуса двойного угла к левой части уравнения:

$$sin 6x = sin(3 \cdot 2x) = 2sin(3x)cos(3x)$$.

4. Подставим это выражение в уравнение:

$$2sin(3x)cos(3x) = 2sin(2x)$$.

5. Разделим обе части уравнения на 2:

$$sin(3x)cos(3x) = sin(2x)$$.

6. Здесь можно использовать формулу синуса тройного угла:

$$sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x)$$.

И косинуса тройного угла:

$$cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x)$$.

А также формулу синуса двойного угла:

$$sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$$.

7. Подставим эти выражения в уравнение:

$$(3sin(x) - 4sin^3(x))(4cos^3(x) - 3cos(x)) = 2sin(x)cos(x)$$.

8. Разделим обе части уравнения на $$sin(x)cos(x)$$. Заметим, что при этом $$sin(x) = 0$$ или $$cos(x) = 0$$ являются решениями.

$$sin(x) = 0$$ при $$x = \pi n$$, где n - целое число.

$$cos(x) = 0$$ при $$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$$, где k - целое число.

9. После деления получаем:

$$(3 - 4sin^2(x))(4cos^2(x) - 3) = 2$$.

10. Используем основное тригонометрическое тождество $$sin^2(x) + cos^2(x) = 1$$, чтобы выразить $$cos^2(x) = 1 - sin^2(x)$$.

11. Подставим это в уравнение:

$$(3 - 4sin^2(x))(4(1 - sin^2(x)) - 3) = 2$$.

$$(3 - 4sin^2(x))(4 - 4sin^2(x) - 3) = 2$$.

$$(3 - 4sin^2(x))(1 - 4sin^2(x)) = 2$$.

12. Раскроем скобки:

$$3 - 12sin^2(x) - 4sin^2(x) + 16sin^4(x) = 2$$.

$$16sin^4(x) - 16sin^2(x) + 3 - 2 = 0$$.

$$16sin^4(x) - 16sin^2(x) + 1 = 0$$.

13. Сделаем замену переменной: $$y = sin^2(x)$$.

$$16y^2 - 16y + 1 = 0$$.

14. Решим квадратное уравнение относительно y:

Дискриминант: $$D = (-16)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 1 = 256 - 64 = 192$$.

$$y_{1,2} = \frac{16 \pm \sqrt{192}}{2 \cdot 16} = \frac{16 \pm 8\sqrt{3}}{32} = \frac{2 \pm \sqrt{3}}{4}$$.

15. Вернемся к переменной x:

$$sin^2(x) = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}$$ или $$sin^2(x) = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$$.

$$sin(x) = \pm \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \pm \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$$ или $$sin(x) = \pm \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$$.

$$x = arcsin(\pm \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}) + 2\pi n$$ или $$x = arcsin(\pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}) + 2\pi n$$.

Можно упростить корни:

$$\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$$.

$$\sqrt{2 - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$$.

Тогда:

$$x = arcsin(\pm \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}) + 2\pi n$$ или $$x = arcsin(\pm \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}) + 2\pi n$$.

Учитывая, что $$sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$$ и $$sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$, имеем:

$$x = \pm 15^\circ + \pi n$$ или $$x = \pm 75^\circ + \pi n$$.

Общие решения:

$$x = \pi n, x = \frac{\pi}{2} + \pi k, x = \pm \frac{\pi}{12} + \pi n, x = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi n$$.

Ответ: $$x = \pi n, x = \frac{\pi}{2} + \pi k, x = \pm \frac{\pi}{12} + \pi n, x = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi n$$