3) sin 3x = sin 2x cos x; 4) cos 5x cos x = cos 4x. 636 1) 4 sin²x - 5 sin x cos x - 6 cos² x = 0; √2) 3 sin²x - 7 sin x cos x + 2 cos² x = 0; 3) 1-4 sin x cos x + 4 cos² x = 0;/4) 1+ sin²x = 2 sin x cos x. √ 637 1) 4 sin 3x + sin 5x - 2 sin x cos 2x = 0; 2) 6 cos 2x sin x + 7 sin 2x = 0. 638 1) sin²x + sin² 2x = sin² 3x; 2) sin x (1- cos x)² + cos x (1 – sin x)² = 2.

Ответ:

636.

1) 4sin²x - 5sinx cosx - 6cos²x = 0

Разделим обе части уравнения на cos²x (если cosx = 0, то sinx = 0, но это невозможно, так как sin²x + cos²x = 1 ≠ 0)

4tg²x - 5tgx - 6 = 0

Пусть t = tgx, тогда

4t² - 5t - 6 = 0

D = (-5)² - 4*4*(-6) = 25 + 96 = 121

t₁ = (5 + √121) / 8 = (5 + 11) / 8 = 16 / 8 = 2

t₂ = (5 - √121) / 8 = (5 - 11) / 8 = -6 / 8 = -3 / 4

tgx = 2, x = arctg2 + πn, n ∈ Z

tgx = -3/4, x = arctg(-3/4) + πk, k ∈ Z

2) 3sin²x - 7sinx cosx + 2cos²x = 0

Разделим обе части уравнения на cos²x (если cosx = 0, то sinx = 0, но это невозможно, так как sin²x + cos²x = 1 ≠ 0)

3tg²x - 7tgx + 2 = 0

Пусть t = tgx, тогда

3t² - 7t + 2 = 0

D = (-7)² - 4*3*2 = 49 - 24 = 25

t₁ = (7 + √25) / 6 = (7 + 5) / 6 = 12 / 6 = 2

t₂ = (7 - √25) / 6 = (7 - 5) / 6 = 2 / 6 = 1 / 3

tgx = 2, x = arctg2 + πn, n ∈ Z

tgx = 1/3, x = arctg(1/3) + πk, k ∈ Z

3) 1 - 4sinx cosx + 4cos²x = 0

1 - 2 * 2sinx cosx + 4cos²x = 0

1 - 2sin2x + 4cos²x = 0

sin²x + cos²x - 2sin2x + 4cos²x = 0

sin²x + 5cos²x - 2sin2x = 0

sin²x + 5cos²x - 4sinx cosx = 0

Разделим обе части уравнения на cos²x (если cosx = 0, то sinx = 0, но это невозможно, так как sin²x + cos²x = 1 ≠ 0)

tg²x - 4tgx + 5 = 0

Пусть t = tgx, тогда

t² - 4t + 5 = 0

D = (-4)² - 4*1*5 = 16 - 20 = -4

D < 0, значит, уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

4) 1 + sin²x = 2sinx cosx

1 + sin²x = sin2x

sin²x + cos²x + sin²x = sin2x

2sin²x + cos²x = sin2x

2sin²x + cos²x = 2sinx cosx

Разделим обе части уравнения на cos²x (если cosx = 0, то sinx = 0, но это невозможно, так как sin²x + cos²x = 1 ≠ 0)

2tg²x - 2tgx + 1 = 0

Пусть t = tgx, тогда

2t² - 2t + 1 = 0

D = (-2)² - 4*2*1 = 4 - 8 = -4

D < 0, значит, уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

637.

1) 4sin3x + sin5x - 2sinx cos2x = 0

4sin3x + sin5x - (sin(x+2x) + sin(x-2x)) = 0

4sin3x + sin5x - (sin3x + sin(-x)) = 0

4sin3x + sin5x - sin3x + sinx = 0

3sin3x + sin5x + sinx = 0

3sin3x + 2sin3x cos2x = 0

sin3x(3 + 2cos2x) = 0

sin3x = 0 или 3 + 2cos2x = 0

3x = πn, n ∈ Z или cos2x = -3/2

x = πn/3, n ∈ Z или cos2x = -3/2 - решений нет, так как |cos2x| ≤ 1

Ответ: x = πn/3, n ∈ Z

2) 6cos2x sinx + 7sin2x = 0

6cos2x sinx + 14sinx cosx = 0

sinx(6cos2x + 14cosx) = 0

sinx(6(2cos²x - 1) + 14cosx) = 0

sinx(12cos²x - 6 + 14cosx) = 0

sinx = 0 или 12cos²x + 14cosx - 6 = 0

x = πn, n ∈ Z или 6cos²x + 7cosx - 3 = 0

Пусть t = cosx, тогда

6t² + 7t - 3 = 0

D = 7² - 4*6*(-3) = 49 + 72 = 121

t₁ = (-7 + √121) / 12 = (-7 + 11) / 12 = 4 / 12 = 1 / 3

t₂ = (-7 - √121) / 12 = (-7 - 11) / 12 = -18 / 12 = -3 / 2 - решений нет, так как |cosx| ≤ 1

cosx = 1/3

x = ±arccos(1/3) + 2πk, k ∈ Z

Ответ: x = πn, n ∈ Z, x = ±arccos(1/3) + 2πk, k ∈ Z

638.

1) sin²x + sin²2x = sin²3x

sin²x + (2sinx cosx)² = (sin(x+2x))²

sin²x + 4sin²x cos²x = (sin3x)²

sin²x(1 + 4cos²x) = (3sinx - 4sin³x)²

sin²x(1 + 4cos²x) = sin²x(3 - 4sin²x)²

sin²x = 0 или 1 + 4cos²x = (3 - 4sin²x)²

sinx = 0 или 1 + 4cos²x = (3 - 4(1 - cos²x))²

x = πn, n ∈ Z или 1 + 4cos²x = (3 - 4 + 4cos²x)²

1 + 4cos²x = (-1 + 4cos²x)²

1 + 4cos²x = 1 - 8cos²x + 16cos⁴x

16cos⁴x - 12cos²x = 0

4cos²x(4cos²x - 3) = 0

cos²x = 0 или 4cos²x - 3 = 0

cosx = 0 или cos²x = 3/4

x = π/2 + πn, n ∈ Z или cosx = ±√3/2

x = π/2 + πn, n ∈ Z или x = ±π/6 + πk, k ∈ Z

Ответ: x = πn, n ∈ Z, x = π/2 + πn, n ∈ Z, x = ±π/6 + πk, k ∈ Z

2) sinx (1 - cosx)² + cosx (1 - sinx)² = 2

sinx (1 - 2cosx + cos²x) + cosx (1 - 2sinx + sin²x) = 2

sinx - 2sinx cosx + sinx cos²x + cosx - 2sinx cosx + sin²x cosx = 2

sinx + cosx - 4sinx cosx + sinx cos²x + sin²x cosx = 2

sinx + cosx - 4sinx cosx + sinx cosx(cosx + sinx) = 2

sinx + cosx - 4sinx cosx + sinx cosx(sinx + cosx) - 2 = 0

sin2x/2(sinx + cosx) - 2sin2x + sinx + cosx - 2 = 0

√2sin(x + π/4) - 2sin2x + sin2x/2 * √2sin(x + π/4) - 2 = 0

ОДЗ: sinx + cosx ≠ 0, sinx ≠ -cosx

Преобразуем уравнение:

sin x (1 – cos x)² + cos x (1 – sin x)² = 2

sin x (1 – 2cos x + cos²x) + cos x (1 – 2sin x + sin²x) = 2

sin x – 2sin x cos x + sin x cos²x + cos x – 2sin x cos x + sin²x cos x = 2

(sin x + cos x) – 4sin x cos x + sin x cos x(cos x + sin x) = 2

Пусть sin x + cos x = t, тогда sin x cos x = (t² – 1) / 2, при этом |t| ≤ √2

t – 4 * (t² – 1) / 2 + (t² – 1) / 2 * t = 2

t – 2(t² – 1) + (t³ – t) / 2 = 2

2t – 4t² + 4 + t³ – t = 4

t³ – 4t² + t = 0

t(t² – 4t + 1) = 0

t = 0, t² – 4t + 1 = 0

t = 0 не является решением, так как |t| ≤ √2

t² – 4t + 1 = 0

D = (–4)² – 4 * 1 * 1 = 16 – 4 = 12

t₁ = (4 – √12) / 2 = (4 – 2√3) / 2 = 2 – √3

t₂ = (4 + √12) / 2 = (4 + 2√3) / 2 = 2 + √3 не является решением, так как |t| ≤ √2

2 – √3 = sin x + cos x

2 – √3 = √2 * (√2/2 sin x + √2/2 cos x)

2 – √3 = √2 * (cos π/4 sin x + sin π/4 cos x)

2 – √3 = √2 sin(x + π/4)

sin(x + π/4) = (2 – √3) / √2

sin(x + π/4) = (2√2 – √6) / 2

x + π/4 = arcsin((2√2 – √6) / 2) + 2πn, n ∈ Z, x + π/4 = π – arcsin((2√2 – √6) / 2) + 2πn, n ∈ Z

x = arcsin((2√2 – √6) / 2) – π/4 + 2πn, n ∈ Z, x = π – arcsin((2√2 – √6) / 2) – π/4 + 2πn, n ∈ Z

x = arcsin((2√2 – √6) / 2) – π/4 + 2πn, n ∈ Z, x = 3π/4 – arcsin((2√2 – √6) / 2) + 2πn, n ∈ Z

Ответ: x = arcsin((2√2 – √6) / 2) – π/4 + 2πn, n ∈ Z, x = 3π/4 – arcsin((2√2 – √6) / 2) + 2πn, n ∈ Z

Ответ: смотри решение выше

Ты хорошо поработал! У тебя все обязательно получится!