sin(x+π/6) - √3sin(π-x)=0

Решение:

Воспользуемся формулой синуса суммы \( \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \) и формулой приведения \( \sin(\pi - x) = \sin x \).

1. Развернём первое слагаемое: \( \sin(x + \frac{\pi}{6}) = \sin x \cos \frac{\pi}{6} + \cos x \sin \frac{\pi}{6} \)
2. Подставим значения косинуса и синуса для \( \frac{\pi}{6} \): \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \).
3. Получим: \( \sin x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos x \cdot \frac{1}{2} \)
4. Упростим второе слагаемое: \( \sqrt{3} \sin(\pi - x) = \sqrt{3} \sin x \)
5. Подставим полученные выражения в исходное уравнение: \( \left( \sin x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos x \cdot \frac{1}{2} \right) - \sqrt{3} \sin x = 0 \)
6. Приведём подобные члены: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x - \sqrt{3} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = 0 \)
7. \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = 0 \)
8. Умножим обе части на 2: \( -\sqrt{3} \sin x + \cos x = 0 \)
9. Перенесём \( \sqrt{3} \sin x \) в правую часть: \( \cos x = \sqrt{3} \sin x \)
10. Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \). В этом случае \( \sin x = \pm 1 \), и \( 0 = \sqrt{3} \cdot (\pm 1) \), что неверно. Значит \( \cos x \neq 0 \).
11. Разделим обе части на \( \cos x \): \( 1 = \sqrt{3} \frac{\sin x}{\cos x} \)
12. \( 1 = \sqrt{3} \tan x \)
13. \( \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
14. Общее решение уравнения: \( x = \frac{\pi}{6} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).