sin²x cos²(13π/2 + x) - cos²x sin²(13π/2 + x) = 1/(cosx) - 1/(sinx) и укажите все корни, удовлетворяющие неравенству π² - 3πx - 4x² ≥ 0.

Question

Вопрос:

sin²x cos²(13π/2 + x) - cos²x sin²(13π/2 + x) = 1/(cosx) - 1/(sinx) и укажите все корни, удовлетворяющие неравенству π² - 3πx - 4x² ≥ 0.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Для начала упростим тригонометрическое выражение:

$ \frac{13\pi}{2} = 6\pi + \frac{\pi}{2} $.

Так как $ \sin(6\pi + \alpha) = \sin(\alpha) $ и $ \cos(6\pi + \alpha) = \cos(\alpha) $, получаем:

$ \sin(\frac{13\pi}{2} + x) = \sin(6\pi + \frac{\pi}{2} + x) = \sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos(x) $

$ \cos(\frac{13\pi}{2} + x) = \cos(6\pi + \frac{\pi}{2} + x) = \cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin(x) $

Подставляем в исходное уравнение:

$ \sin^2(x) (-\sin(x))^2 - \cos^2(x) (\cos(x))^2 = \sin^2(x) \sin^2(x) - \cos^2(x) \cos^2(x) $

$ = \sin^4(x) - \cos^4(x) $

Используем формулу разности квадратов:

$ = (\sin^2(x) - \cos^2(x))(\sin^2(x) + \cos^2(x)) $

Так как $ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $, получаем:

$ = \sin^2(x) - \cos^2(x) = -(\cos^2(x) - \sin^2(x)) = -\cos(2x) $

Теперь приравняем к правой части уравнения:

$ -\cos(2x) = \frac{1}{\cos(x)} - \frac{1}{\sin(x)} $

$ -\cos(2x) = \frac{\sin(x) - \cos(x)}{\sin(x)\cos(x)} $

$ -(\cos^2(x) - \sin^2(x)) = \frac{\sin(x) - \cos(x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)} $

$ -(\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x)) = \frac{2(\sin(x) - \cos(x))}{\sin(2x)} $

$ (\sin(x) - \cos(x))(\cos(x) + \sin(x)) = \frac{2(\sin(x) - \cos(x))}{\sin(2x)} $

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $$\sin(x) - \cos(x) = 0$$

$ \sin(x) = \cos(x) $ → $ \tan(x) = 1 $ → $ x = \frac{\pi}{4} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Случай 2: $$\sin(x) - \cos(x) \neq 0$$

$ \cos(x) + \sin(x) = \frac{2}{\sin(2x)} $

$ (\cos(x) + \sin(x))\sin(2x) = 2 $

$ (\cos(x) + \sin(x))(2\sin(x)\cos(x)) = 2 $

Это уравнение сложно решить аналитически. Проверим, что при $ x = \frac{\pi}{4} + \pi k $, знаменатели $ \cos(x) $ и $ \sin(x) $ не равны нулю. Действительно, $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Теперь рассмотрим неравенство:

$ \pi^2 - 3\pi x - 4x^2 \ge 0 $

Найдем корни квадратного уравнения $ -4x^2 - 3\pi x + \pi^2 = 0 $:

$ 4x^2 + 3\pi x - \pi^2 = 0 $

Дискриминант $ D = (3\pi)^2 - 4(4)(-\pi^2) = 9\pi^2 + 16\pi^2 = 25\pi^2 $

$ \sqrt{D} = 5\pi $

Корни:

$ x_1 = \frac{-3\pi + 5\pi}{2 \cdot 4} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} $

$ x_2 = \frac{-3\pi - 5\pi}{2 \cdot 4} = \frac{-8\pi}{8} = -\pi $

Неравенство $ -4x^2 - 3\pi x + \pi^2 \ge 0 $ выполняется для $ x \in [-\pi, \frac{\pi}{4}] $.

Теперь проверим, какие из решений тригонометрического уравнения $ x = \frac{\pi}{4} + \pi k $ попадают в интервал $ [-\pi, \frac{\pi}{4}] $.

Если $ k = 0 $, то $ x = \frac{\pi}{4} $. Это значение попадает в интервал.
Если $ k = -1 $, то $ x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4} $. Это значение попадает в интервал.
Если $ k = -2 $, то $ x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4} $. Это значение не попадает в интервал.
Если $ k = 1 $, то $ x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4} $. Это значение не попадает в интервал.

Таким образом, корни, удовлетворяющие обоим условиям, это $ x = \frac{\pi}{4} $ и $ x = -\frac{3\pi}{4} $.

Ответ: $$x = \frac{\pi}{4}$$, $$x = -\frac{3\pi}{4}$$.