sin x = log12(3^sin x * 4^cos x)

Задача:

• \[ \sin x = \log_{12} \left( 3^{\sin x} \cdot 4^{\cos x} \right) \]

Решение:

1. Преобразуем уравнение, используя определение логарифма:
   Если \( y = \log_b x \), то \( x = b^y \).
   В нашем случае: \( b=12 \), \( y=\sin x \), \( x = 3^{\sin x} \cdot 4^{\cos x} \).
   Получаем: \( 12^{\sin x} = 3^{\sin x} \cdot 4^{\cos x} \)
2. Разделим обе части уравнения на \( 3^{\sin x} \):
   \( \frac{12^{\sin x}}{3^{\sin x}} = 4^{\cos x} \)
   \( \left( \frac{12}{3} \right)^{\sin x} = 4^{\cos x} \)
   \( 4^{\sin x} = 4^{\cos x} \)
3. Приравниваем показатели степени, так как основания равны:
   \( \sin x = \cos x \)
4. Разделим обе части на \( \cos x \) (при условии, что \( \cos x
   eq 0 \)):
   \( \frac{\sin x}{\cos x} = 1 \)
   \( \operatorname{tg} x = 1 \)
5. Находим значения \( x \) из уравнения \( \operatorname{tg} x = 1 \):
   \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)
6. Проверим условие \( \cos x
   eq 0 \):
   При \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), \( \cos x \) не равен нулю.
7. Проверим область определения логарифма:
   Выражение \( 3^{\sin x} \cdot 4^{\cos x} \) всегда больше нуля, так как степени положительных чисел положительны.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)