sin2a - 2cosa / sina - sin²α = -2ctga. Решить уравнения: 1) Sin = √2 / 2; 2) cosx = √3 / 2; 3) tq x = 1; 4) ( tq x - 1 ) ( tq x + √3 ) = 0; 5) 3 Sin²x - 5 Sin x - 2 = 0; 6) 3 Cos²x - sinx - 1 = 0.

Решение:

1) \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Это частный случай, где \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \) или \( x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

2) \( \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Это частный случай, где \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

3) \( \text{tg } x = 1 \)

Это частный случай, где \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \) — целое число.

4) \( (\text{tg } x - 1) (\text{tg } x + \sqrt{3}) = 0 \)

1. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:




• \( \text{tg } x - 1 = 0 \Rightarrow \text{tg } x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k \)


• \( \text{tg } x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \text{tg } x = -\sqrt{3} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{3} + \pi k \)

5) \( 3 \sin^2 x - 5 \sin x - 2 = 0 \)

1. Обозначим \( y = \sin x \). Получим квадратное уравнение: \( 3y^2 - 5y - 2 = 0 \).


2. Найдём дискриминант: \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 \).


3. Найдём корни: \( y_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2 \).


4. \( y_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \).


5. Так как \( \sin x \) может принимать значения только от -1 до 1, то \( \sin x = 2 \) не имеет решений.


6. Рассмотрим \( \sin x = -\frac{1}{3} \). Это не частный случай, поэтому решение записывается как \( x = \arcsin(-\frac{1}{3}) + 2\pi k \) или \( x = \pi - \arcsin(-\frac{1}{3}) + 2\pi k \).

6) \( 3 \cos^2 x - \sin x - 1 = 0 \)

1. Заменим \( \cos^2 x \) на \( 1 - \sin^2 x \): \( 3(1 - \sin^2 x) - \sin x - 1 = 0 \).


2. Раскроем скобки: \( 3 - 3\sin^2 x - \sin x - 1 = 0 \).


3. Упростим: \( -3\sin^2 x - \sin x + 2 = 0 \) или \( 3\sin^2 x + \sin x - 2 = 0 \).


4. Обозначим \( y = \sin x \). Получим квадратное уравнение: \( 3y^2 + y - 2 = 0 \).


5. Найдём дискриминант: \( D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 \).


6. Найдём корни: \( y_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).


7. \( y_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \).


8. Рассмотрим \( \sin x = \frac{2}{3} \). Решение: \( x = \arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k \) или \( x = \pi - \arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k \).


9. Рассмотрим \( \sin x = -1 \). Это частный случай, где \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \) или \( x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \).

Ответ: 1) \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \); 2) \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k \); 3) \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \); 4) \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k, x = -\frac{\pi}{3} + \pi k \); 5) \( x = \arcsin(-\frac{1}{3}) + 2\pi k, x = \pi - \arcsin(-\frac{1}{3}) + 2\pi k \); 6) \( x = \frac{2}{3} \arcsin \frac{2}{3} + 2\pi k, x = \pi - \arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k, x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \).