114. sin(arctg 2)

Для решения данного примера необходимо вспомнить определение арктангенса и синуса.

Арктангенс числа a (arctg a) - это угол, тангенс которого равен a.

Синус угла - это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Пусть arctg 2 = α, тогда tg α = 2. Представим тангенс как отношение синуса к косинусу: $$tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = 2$$

Нам нужно найти sin α. Для этого можно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством: $$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$$

Выразим cos α через sin α, используя tg α = 2:

$$cos \alpha = \frac{sin \alpha}{2}$$

Подставим это выражение в основное тригонометрическое тождество:

$$sin^2 \alpha + (\frac{sin \alpha}{2})^2 = 1$$

$$sin^2 \alpha + \frac{sin^2 \alpha}{4} = 1$$

$$4sin^2 \alpha + sin^2 \alpha = 4$$

$$5sin^2 \alpha = 4$$

$$sin^2 \alpha = \frac{4}{5}$$

$$sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{4}{5}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}$$

Поскольку арктангенс определен на интервале (-π/2, π/2), где синус положителен, выбираем положительное значение:

$$sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$

Ответ: $$\frac{2\sqrt{5}}{5}$$