9.1. Синус, косинус и тангенс острого угла Вариант 1 1. В треугольнике АВС с прямым углом А (см. рис. 139) выразите синус, косинус и тангенс угла С через стороны треугольника. Рис. 139. 2. Найдите синус, косинус и тангенс угла С треугольника АВС с катетами AB 30, AC = 40. 3. Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 5, синус угла при основании равен 1. Найдите боковую сторону треугольника. 3 Вариант 2 1. В треугольнике АВС с прямым углом В (см. рис. 140) выразите синус, косинус и тангенс угла С через стороны треугольника. Рис. 140. 2. Найдите синус, косинус и тангенс угла С треугольника АВС с катетами AB = 6, BC = 8. 3. Высота равнобедренной трапеции равна 8, синус угла при основании равен Найдите боковую сторону трапеции. 2-3

1. Выражение синуса, косинуса и тангенса угла C через стороны треугольника ABC:

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол A прямой:

• Синус угла C: \(\sin(C) = \frac{AB}{BC}\)
• Косинус угла C: \(\cos(C) = \frac{AC}{BC}\)
• Тангенс угла C: \(\tan(C) = \frac{AB}{AC}\)

2. Найдите синус, косинус и тангенс угла C треугольника ABC с катетами AB = 30, AC = 40.

Сначала найдем гипотенузу BC, используя теорему Пифагора:

\[BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50\]

Теперь найдем синус, косинус и тангенс угла C:

• \(\sin(C) = \frac{AB}{BC} = \frac{30}{50} = \frac{3}{5} = 0.6\)
• \(\cos(C) = \frac{AC}{BC} = \frac{40}{50} = \frac{4}{5} = 0.8\)
• \(\tan(C) = \frac{AB}{AC} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4} = 0.75\)

3. Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 5, синус угла при основании равен \(\frac{1}{3}\). Найдите боковую сторону треугольника.

Пусть высота, проведённая к основанию, равна h = 5, а синус угла при основании равен \(\frac{1}{3}\). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной основания и боковой стороной. Пусть боковая сторона равна x.

Тогда \(\sin(\alpha) = \frac{h}{x}\), где \(\alpha\) - угол при основании.

Из условия \(\sin(\alpha) = \frac{1}{3}\), значит \(\frac{5}{x} = \frac{1}{3}\).

Решаем уравнение: \(x = 5 \cdot 3 = 15\).

Таким образом, боковая сторона треугольника равна 15.

1. Выражение синуса, косинуса и тангенса угла C через стороны треугольника ABC:

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол B прямой:

• Синус угла C: \(\sin(C) = \frac{AB}{AC}\)
• Косинус угла C: \(\cos(C) = \frac{BC}{AC}\)
• Тангенс угла C: \(\tan(C) = \frac{AB}{BC}\)

2. Найдите синус, косинус и тангенс угла C треугольника ABC с катетами AB = 6, BC = 8.

Сначала найдем гипотенузу AC, используя теорему Пифагора:

\[AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\]

Теперь найдем синус, косинус и тангенс угла C:

• \(\sin(C) = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 0.6\)
• \(\cos(C) = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} = 0.8\)
• \(\tan(C) = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0.75\)

3. Высота равнобедренной трапеции равна 8, синус угла при основании равен \(\frac{2}{3}\). Найдите боковую сторону трапеции.

Пусть высота трапеции равна h = 8, а синус угла при основании равен \(\frac{2}{3}\). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой и боковой стороной.

Тогда \(\sin(\alpha) = \frac{h}{x}\), где \(\alpha\) - угол при основании, x - боковая сторона.

Из условия \(\sin(\alpha) = \frac{2}{3}\), значит \(\frac{8}{x} = \frac{2}{3}\).

Решаем уравнение: \(2x = 8 \cdot 3 = 24\), \(x = \frac{24}{2} = 12\).

Таким образом, боковая сторона трапеции равна 12.