6 Синус угла между стороной и диагональю \(\frac{15}{17}\). Диаметр описанной около него окружности равен 17. Найдите площадь прямоугольника.

Ответ: 60

Разбираемся:

• Пусть дан прямоугольник ABCD, описанный около окружности с диаметром 17.
• Диагональ AC является диаметром окружности, поэтому AC = 17.
• Синус угла между стороной и диагональю равен \(\frac{15}{17}\). Пусть \(\angle CAD = \alpha\), тогда \(\sin(\alpha) = \frac{15}{17}\).
• В прямоугольном треугольнике ADC: \(\sin(\alpha) = \frac{CD}{AC}\).
• Таким образом, \(\frac{CD}{17} = \frac{15}{17}\), откуда CD = 15.
• По теореме Пифагора, AD = \(\sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8\).
• Площадь прямоугольника ABCD равна: S = AD \(\cdot\) CD = 8 \(\cdot\) 15 = 120.

Ответ: 120