Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 5 13 . Диаметр описанной около него окружности равен 26. Найдите площадь прямоугольника.

Привет! Давай разберем эту задачку по геометрии вместе.

Дано:

• Прямоугольник вписан в окружность.
• Синус угла между стороной и диагональю равен \( \frac{5}{13} \).
• Диаметр описанной окружности \( D = 26 \).

Найти: Площадь прямоугольника \( S \).

Решение:

1. Диагональ прямоугольника — это диаметр описанной окружности. Значит, диагональ \( d = D = 26 \).
2. Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) и \( b \). Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника.
3. Рассмотрим один из таких треугольников. Его гипотенуза — это диагональ \( d \), а катеты — стороны прямоугольника \( a \) и \( b \).
4. Пусть \( \alpha \) — угол между стороной \( a \) и диагональю \( d \). Тогда синус этого угла \( \sin(\alpha) = \frac{b}{d} \), а косинус \( \cos(\alpha) = \frac{a}{d} \).
5. Нам дано, что \( \sin(\alpha) = \frac{5}{13} \).
6. Мы знаем, что \( \sin(\alpha) = \frac{b}{d} \), значит \( \frac{b}{26} = \frac{5}{13} \).
7. Вычислим сторону \( b \): \( b = \frac{5}{13} \times 26 = 5 \times 2 = 10 \).
8. Теперь найдем сторону \( a \). Для этого используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \).
9. \( \cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169} \).
10. \( \cos(\alpha) = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} \) (берем положительное значение, так как угол в прямоугольном треугольнике острый).
11. Так как \( \cos(\alpha) = \frac{a}{d} \), то \( \frac{a}{26} = \frac{12}{13} \).
12. Вычислим сторону \( a \): \( a = \frac{12}{13} \times 26 = 12 \times 2 = 24 \).
13. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: \( S = a \times b \).
14. \( S = 24 \times 10 = 240 \).

Ответ: 240