20.1 Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника 12 равен 13. Диаметр описанной около него окружности равен 13. Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

1. Обозначим стороны прямоугольника как a и b, а диагональ как d. По условию, диаметр описанной окружности равен диагонали прямоугольника, то есть d = 13.
2. Синус угла между стороной a и диагональю d равен \(\frac{12}{13}\). Следовательно, \(\sin(\alpha) = \frac{a}{d} = \frac{12}{13}\).
3. Найдем сторону a: \[ a = d \cdot \sin(\alpha) = 13 \cdot \frac{12}{13} = 12 \]
4. Теперь найдем сторону b, используя теорему Пифагора: \[ a^2 + b^2 = d^2 \] \[ b^2 = d^2 - a^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25 \] \[ b = \sqrt{25} = 5 \]
5. Площадь прямоугольника равна: \[ S = a \cdot b = 12 \cdot 5 = 60 \]