228. sin2x + 3√3 sinx cosx + 6 cos2x = 0

Решим уравнение $$sin^2x + 3\sqrt{3}sinxcosx + 6cos^2x = 0$$.

Разделим обе части уравнения на $$cos^2x$$, предполагая, что $$cosx
e 0$$.

$$\frac{sin^2x}{cos^2x} + 3\sqrt{3}\frac{sinxcosx}{cos^2x} + 6\frac{cos^2x}{cos^2x} = 0$$.

$$tan^2x + 3\sqrt{3}tanx + 6 = 0$$

Замена: $$t = tanx$$.

$$t^2 + 3\sqrt{3}t + 6 = 0$$

Решим квадратное уравнение: $$D = (3\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 27 - 24 = 3$$.

$$t_1 = \frac{-3\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2} = \frac{-2\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}$$.

$$t_2 = \frac{-3\sqrt{3} - \sqrt{3}}{2} = \frac{-4\sqrt{3}}{2} = -2\sqrt{3}$$.

1) $$tanx = -\sqrt{3}$$.

$$x = arctan(-\sqrt{3}) + \pi n, n \in Z$$.

$$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z$$.

2) $$tanx = -2\sqrt{3}$$.

$$x = arctan(-2\sqrt{3}) + \pi k, k \in Z$$.

$$x = -arctan(2\sqrt{3}) + \pi k, k \in Z$$.

Найдем наибольший отрицательный корень уравнения.

1) $$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$$. При $$n = 0$$ получим $$x = -\frac{\pi}{3} = -60^{\circ}$$. При $$n = -1$$ получим $$x = -\frac{\pi}{3} - \pi = -60^{\circ} - 180^{\circ} = -240^{\circ}$$.

2) $$x = -arctan(2\sqrt{3}) + \pi k$$. При $$k = 0$$ получим $$x = -arctan(2\sqrt{3}) \approx -73.9^{\circ}$$. При $$k = -1$$ получим $$x = -arctan(2\sqrt{3}) - \pi \approx -73.9^{\circ} - 180^{\circ} = -253.9^{\circ}$$.

Наибольший отрицательный корень равен $$-60^{\circ}$$.

Ответ: -60