Система, состоящая из двух брусков, связанная натянутой и расположенной вертикально нитью, плавает, целиком погрузившись в воду (см. рисунок). Объём верхнего бруска в n = 2 раза больше объёма нижнего. Плотность материала верхнего бруска ρ₁ = 0,7 г/см³, плотность воды ρ = 1 г/см³. Определи плотность материала ρ₂. Ответ вырази в г/см³ и округли до десятых долей.

Привет! Давай разберем эту задачку вместе. Она про плавающие тела, так что нам понадобятся законы Архимеда.

Дано:

• Объем верхнего бруска: \[ V_{верх} \]
• Объем нижнего бруска: \[ V_{низ} \]
• Соотношение объемов: \[ V_{верх} = 2 V_{низ} \]
• Плотность верхнего бруска: \[ \rho_1 = 0,7 \text{ г/см}³ \]
• Плотность воды: \[ \rho_{воды} = 1 \text{ г/см}³ \]

Найти:

• Плотность нижнего бруска: \[ \rho_2 \]

Решение:

Когда тело плавает, сила Архимеда, действующая на него, равна сумме весов всех его частей. В нашем случае система состоит из двух брусков, связанных нитью.

1. Сила Архимеда, действующая на погруженную часть системы, равна весу вытесненной воды. Так как оба бруска плавают, погруженная часть — это весь объем нижнего бруска и часть верхнего, которая находится под водой. Однако из рисунка видно, что оба бруска полностью погружены в воду, поэтому сила Архимеда равна весу воды, вытесненной обоими брусками.
2. Вес каждого бруска равен произведению его массы на ускорение свободного падения (\[ g \]). Масса, в свою очередь, равна произведению плотности на объем.

Уравнение равновесия:

Сила Архимеда = Сумма весов брусков

\[ F_{A} = P_1 + P_2 \]

Сила Архимеда, действующая на полностью погруженные тела, равна весу вытесненной жидкости:

\[ F_{A} = \rho_{воды} \cdot g \cdot (V_{верх} + V_{низ}) \]

Вес первого (верхнего) бруска:

\[ P_1 = m_1 \cdot g = \rho_1 \cdot V_{верх} \cdot g \]

Вес второго (нижнего) бруска:

\[ P_2 = m_2 \cdot g = \rho_2 \cdot V_{низ} \cdot g \]

Подставляем все в уравнение равновесия:

\[ \rho_{воды} \cdot g \cdot (V_{верх} + V_{низ}) = \rho_1 \cdot V_{верх} \cdot g + \rho_2 \cdot V_{низ} \cdot g \]

Можем сократить \[ g \]:

\[ \rho_{воды} \cdot (V_{верх} + V_{низ}) = \rho_1 \cdot V_{верх} + \rho_2 \cdot V_{низ} \]

Теперь используем соотношение \[ V_{верх} = 2 V_{низ} \]. Подставим это в уравнение:

\[ \rho_{воды} \cdot (2 V_{низ} + V_{низ}) = \rho_1 \cdot (2 V_{низ}) + \rho_2 \cdot V_{низ} \]

\[ \rho_{воды} \cdot (3 V_{низ}) = 2 \rho_1 \cdot V_{низ} + \rho_2 \cdot V_{низ} \]

Можно сократить \[ V_{низ} \]:

\[ 3 \rho_{воды} = 2 \rho_1 + \rho_2 \]

Теперь выразим \[ \rho_2 \]:

\[ \rho_2 = 3 \rho_{воды} - 2 \rho_1 \]

Подставим известные значения:

\[ \rho_2 = 3 \cdot 1 \text{ г/см}³ - 2 \cdot 0,7 \text{ г/см}³ \]

\[ \rho_2 = 3 \text{ г/см}³ - 1,4 \text{ г/см}³ \]

\[ \rho_2 = 1,6 \text{ г/см}³ \]

Ответ нужно округлить до десятых долей. У нас получилось 1,6, что уже имеет одну десятую.

Ответ:

Ответ: 1,6 г/см³