Система уравнений: \(5(x+y)-7(x-y)=64\) \(3(x+y)+2(x-y)=26\) x = ____ ; y = ____

Решение:

Обозначим \( a = x+y \) и \( b = x-y \). Тогда система уравнений примет вид:

• \( 5a - 7b = 64 \)
• \( 3a + 2b = 26 \)

Решим эту систему методом подстановки или сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 7:

• \( 10a - 14b = 128 \)
• \( 21a + 14b = 182 \)

Сложим полученные уравнения:

• \( (10a - 14b) + (21a + 14b) = 128 + 182 \)
• \( 31a = 310 \)
• \( a = \frac{310}{31} = 10 \)

Подставим \( a = 10 \) во второе уравнение \( 3a + 2b = 26 \):

• \( 3(10) + 2b = 26 \)
• \( 30 + 2b = 26 \)
• \( 2b = 26 - 30 \)
• \( 2b = -4 \)
• \( b = \frac{-4}{2} = -2 \)

Теперь вернемся к исходным переменным:

• \( x+y = a = 10 \)
• \( x-y = b = -2 \)

Сложим эти два уравнения:

• \( (x+y) + (x-y) = 10 + (-2) \)
• \( 2x = 8 \)
• \( x = \frac{8}{2} = 4 \)

Подставим \( x = 4 \) в уравнение \( x+y = 10 \):

• \( 4 + y = 10 \)
• \( y = 10 - 4 = 6 \)

Проверим полученные значения в исходной системе:

• \( 5(4+6)-7(4-6) = 5(10)-7(-2) = 50+14 = 64 \) (Верно)
• \( 3(4+6)+2(4-6) = 3(10)+2(-2) = 30-4 = 26 \) (Верно)

Ответ: x = 4; y = 6.