Системная работа по теме "Системы линейных уравнений". Вариант 1. 1. Решите систему уравнений: { x + y = 9, 3x - y = 7. } 2. Решите систему уравнений: { 2x + 3y = 8, 5x - 3y = 13. } 3. График какой линейной функции пересекает оси координат в точках (-2;0) и (0;4)? Запишите уравнение этой функции. 4. Решите систему уравнений: { 2x - 3y = 9, 5x + 2y = -13. } 5. Решите неравенство: { 2x + 9 > 5x - 6. }

Решение:

1. Решение системы уравнений:

\(\begin{cases} x + y = 9 \\ 3x - y = 7 \end{cases}\)

Сложим уравнения системы:

\( (x + y) + (3x - y) = 9 + 7 \)

\( 4x = 16 \)

\( x = 4 \)

Подставим \( x = 4 \) в первое уравнение:

\( 4 + y = 9 \)

\( y = 5 \)

Ответ: \( (4; 5) \).

2. Решение системы уравнений:

\(\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 5x - 3y = 13 \end{cases}\)

Сложим уравнения системы:

\( (2x + 3y) + (5x - 3y) = 8 + 13 \)

\( 7x = 21 \)

\( x = 3 \)

Подставим \( x = 3 \) в первое уравнение:

\( 2(3) + 3y = 8 \)

\( 6 + 3y = 8 \)

\( 3y = 2 \)

\( y = \frac{2}{3} \)

Ответ: \( (3; \frac{2}{3}) \).

3. Нахождение уравнения линейной функции:

График линейной функции пересекает оси координат в точках \( (-2; 0) \) и \( (0; 4) \).

Общий вид линейной функции: \( y = kx + b \).

Из точки \( (0; 4) \) следует, что \( b = 4 \) (точка пересечения с осью y).

Подставим координаты точки \( (-2; 0) \) и \( b = 4 \) в уравнение:

\( 0 = k(-2) + 4 \)

\( -2k = -4 \)

\( k = 2 \)

Уравнение функции: \( y = 2x + 4 \).

Ответ: \( y = 2x + 4 \).

4. Решение системы уравнений:

\(\begin{cases} 2x - 3y = 9 \\ 5x + 2y = -13 \end{cases}\)

Умножим первое уравнение на 2, второе на 3, чтобы коэффициенты при \( y \) стали противоположными:

\(\begin{cases} 4x - 6y = 18 \\ 15x + 6y = -39 \end{cases}\)

Сложим уравнения:

\( (4x - 6y) + (15x + 6y) = 18 - 39 \)

\( 19x = -21 \)

\( x = -\frac{21}{19} \)

Подставим \( x = -\frac{21}{19} \) во второе уравнение:

\( 5(-\frac{21}{19}) + 2y = -13 \)

\( -\frac{105}{19} + 2y = -13 \)

\( 2y = -13 + \frac{105}{19} \)

\( 2y = \frac{-13 × 19 + 105}{19} \)

\( 2y = \frac{-247 + 105}{19} \)

\( 2y = \frac{-142}{19} \)

\( y = -\frac{71}{19} \)

Ответ: \( (-\frac{21}{19}; -\frac{71}{19}) \).

5. Решение неравенства:

\( 2x + 9 > 5x - 6 \)

Перенесём члены с \( x \) в правую часть, а числа — в левую:

\( 9 + 6 > 5x - 2x \)

\( 15 > 3x \)

Разделим обе части на 3 (знак неравенства не меняется, так как 3 > 0):

\( 5 > x \)

Или \( x < 5 \).

Ответ: \( x < 5 \).