Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаСистемы нелинейных уравнений Вариант 1 1. Определите число решений системы уравнений [x-4y=2. xy+2y=8. 2. Решите систему уравнений 13x-y=5 3x² + y² = 13. x²-10x+25=9 3. Решите систему уравнений (х+5=7. 4. Решите систему уравнений ру-5ху = -9. 2x+5xy=14, 5. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 18 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились через 2 ч. После встречи они, не останавливаясь, продолжили движение каждый в своем направлении. Найдите скорость каждого пешехода, если один из них прибыл в пункт В на 54 мин раньше, чем другой в пункт А.
Ответ:
1. Определите число решений системы уравнений
Давай определим число решений системы уравнений:
\[\begin{cases}x - 4y = 2 \\xy + 2y = 8\end{cases}\]Выразим x из первого уравнения: x = 4y + 2
Подставим это выражение во второе уравнение:
\[(4y + 2)y + 2y = 8\] \[4y^2 + 2y + 2y = 8\] \[4y^2 + 4y - 8 = 0\]Разделим на 4:
\[y^2 + y - 2 = 0\]Решим квадратное уравнение относительно y:
\[y^2 + y - 2 = 0\]Используем дискриминант: D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9
Так как D > 0, уравнение имеет два различных решения:
\[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1\] \[y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = -2\]Теперь найдем соответствующие значения x:
Для y_1 = 1:
\[x_1 = 4y_1 + 2 = 4(1) + 2 = 6\]Для y_2 = -2:
\[x_2 = 4y_2 + 2 = 4(-2) + 2 = -8 + 2 = -6\]Таким образом, мы имеем два решения системы уравнений:
\[(6, 1), (-6, -2)\]Ответ: 2
Ты молодец! У тебя всё получится!
2. Решите систему уравнений
Давай решим систему уравнений:
\[\begin{cases}3x - y = 5 \\3x^2 + y^2 = 13\end{cases}\]Выразим y из первого уравнения: y = 3x - 5
Подставим это выражение во второе уравнение:
\[3x^2 + (3x - 5)^2 = 13\] \[3x^2 + (9x^2 - 30x + 25) = 13\] \[12x^2 - 30x + 25 = 13\] \[12x^2 - 30x + 12 = 0\]Разделим на 6:
\[2x^2 - 5x + 2 = 0\]Решим квадратное уравнение относительно x:
\[2x^2 - 5x + 2 = 0\]Используем дискриминант: D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9
Так как D > 0, уравнение имеет два различных решения:
\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{4} = \frac{5 + 3}{4} = 2\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{4} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}\]Теперь найдем соответствующие значения y:
Для x_1 = 2:
\[y_1 = 3x_1 - 5 = 3(2) - 5 = 6 - 5 = 1\]Для x_2 = 1/2:
\[y_2 = 3x_2 - 5 = 3(\frac{1}{2}) - 5 = \frac{3}{2} - 5 = \frac{3 - 10}{2} = -\frac{7}{2}\]Таким образом, мы имеем два решения системы уравнений:
\[(2, 1), (\frac{1}{2}, -\frac{7}{2})\]Ответ: (2, 1), (1/2, -7/2)
Ты молодец! У тебя всё получится!
3. Решите систему уравнений
Давай решим систему уравнений:
\[\begin{cases}x^2 - 10y + 25y^2 = 9 \\x + 5y = 7\end{cases}\]Выразим x из второго уравнения: x = 7 - 5y
Подставим это выражение в первое уравнение:
\[(7 - 5y)^2 - 10y + 25y^2 = 9\] \[49 - 70y + 25y^2 - 10y + 25y^2 = 9\] \[50y^2 - 80y + 49 = 9\] \[50y^2 - 80y + 40 = 0\]Разделим на 10:
\[5y^2 - 8y + 4 = 0\]Решим квадратное уравнение относительно y:
\[5y^2 - 8y + 4 = 0\]Используем дискриминант: D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(5)(4) = 64 - 80 = -16
Так как D < 0, уравнение не имеет действительных решений.
Ответ: Решений нет
Ты молодец! У тебя всё получится!
4. Решите систему уравнений
Давай решим систему уравнений:
\[\begin{cases}2x + 5xy = 14 \\y - 5xy = -9\end{cases}\]Сложим оба уравнения:
\[2x + 5xy + y - 5xy = 14 - 9\] \[2x + y = 5\]Выразим y через x:
\[y = 5 - 2x\]Подставим это выражение в первое уравнение:
\[2x + 5x(5 - 2x) = 14\] \[2x + 25x - 10x^2 = 14\] \[-10x^2 + 27x - 14 = 0\] \[10x^2 - 27x + 14 = 0\]Решим квадратное уравнение относительно x:
\[10x^2 - 27x + 14 = 0\]Используем дискриминант: D = b^2 - 4ac = (-27)^2 - 4(10)(14) = 729 - 560 = 169
Так как D > 0, уравнение имеет два различных решения:
\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 + \sqrt{169}}{20} = \frac{27 + 13}{20} = \frac{40}{20} = 2\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 - \sqrt{169}}{20} = \frac{27 - 13}{20} = \frac{14}{20} = \frac{7}{10}\]Теперь найдем соответствующие значения y:
Для x_1 = 2:
\[y_1 = 5 - 2x_1 = 5 - 2(2) = 5 - 4 = 1\]Для x_2 = 7/10:
\[y_2 = 5 - 2x_2 = 5 - 2(\frac{7}{10}) = 5 - \frac{14}{10} = 5 - \frac{7}{5} = \frac{25 - 7}{5} = \frac{18}{5}\]Таким образом, мы имеем два решения системы уравнений:
\[(2, 1), (\frac{7}{10}, \frac{18}{5})\]Ответ: (2, 1), (7/10, 18/5)
Ты молодец! У тебя всё получится!
5. Задача про пешеходов
Давай решим задачу про пешеходов.
Пусть v1 - скорость первого пешехода, v2 - скорость второго пешехода.
Расстояние между пунктами A и B равно 18 км. Они встретились через 2 часа.
Значит, 2v1 + 2v2 = 18, или v1 + v2 = 9.
Пусть первый пешеход прибыл в пункт B на 54 минуты (0.9 часа) раньше, чем второй в пункт A.
Время, которое первый пешеход потратил на путь до B: t1 = 18 / v1
Время, которое второй пешеход потратил на путь до A: t2 = 18 / v2
t2 - t1 = 0.9, или 18/v2 - 18/v1 = 0.9
Разделим на 0.9:
\[\frac{18}{0.9v_2} - \frac{18}{0.9v_1} = 1\] \[\frac{20}{v_2} - \frac{20}{v_1} = 1\] \[20v_1 - 20v_2 = v_1v_2\]Из первого уравнения выразим v2: v2 = 9 - v1
Подставим это выражение во второе уравнение:
\[20v_1 - 20(9 - v_1) = v_1(9 - v_1)\] \[20v_1 - 180 + 20v_1 = 9v_1 - v_1^2\] \[40v_1 - 180 = 9v_1 - v_1^2\] \[v_1^2 + 31v_1 - 180 = 0\]Решим квадратное уравнение относительно v1:
\[v_1^2 + 31v_1 - 180 = 0\]D = 31^2 - 4(1)(-180) = 961 + 720 = 1681 = 41^2
\[v_{1_1} = \frac{-31 + 41}{2} = \frac{10}{2} = 5\] \[v_{1_2} = \frac{-31 - 41}{2} = \frac{-72}{2} = -36\]Так как скорость не может быть отрицательной, v1 = 5 км/ч.
Тогда v2 = 9 - v1 = 9 - 5 = 4 км/ч.
Ответ: Скорость первого пешехода 5 км/ч, скорость второго пешехода 4 км/ч.
Ты молодец! У тебя всё получится!
