Six cards are labeled with the integers 1, 2, 3, 4, 5, 6 (one number on each card). How many ways are there to choose two of the cards so that the product of the chosen numbers is even?

Для того чтобы произведение двух чисел было четным, необходимо, чтобы хотя бы один из множителей был четным. Рассмотрим возможные варианты выбора двух карт из шести, чтобы произведение чисел на них было четным.

Среди чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 четными являются 2, 4, 6, то есть 3 числа, а нечетными - 1, 3, 5, тоже 3 числа.

Всего возможно выбрать два числа из шести $$C_6^2$$ способами. $$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$$

Произведение двух чисел будет нечетным только в том случае, если оба числа нечетные. Выбрать два нечетных числа из трех можно $$C_3^2$$ способами. $$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$$

Чтобы найти количество способов, при которых произведение будет четным, нужно из общего количества способов выбора двух чисел вычесть количество способов выбора двух нечетных чисел.

$$15 - 3 = 12$$

Ответ: 12