1. СК – хорда окружности с центром в точке О. Найдите угол СОК, если угол КСО = 40°. 2. Две касательные к окружности с центром в точке О пересекаются в точке А. Точки В и С являются точками касания прямых соответственно. Найдите: а) угол АОС, если угол ВАС = 60°; б) найдите радиус окружности, если АО = 10 см. 3. В окружности с центром в точке О проведены диаметр КР и хорда РМ. Найдите величину угла ОРМ, если угол КОМ равен 144°.

1. Найдем угол СОК.

Дано:

• СК – хорда окружности с центром в точке O.
• ∠КСО = 40°.

Найти: ∠СОК.

Решение:

1. Треугольник CОК – равнобедренный, так как ОС = ОК (радиусы окружности).
2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, ∠ОКС = ∠КСО = 40°.
3. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
4. ∠СОК = 180° - (∠ОКС + ∠КСО) = 180° - (40° + 40°) = 180° - 80° = 100°.

Ответ: ∠СОК = 100°.

2. Найдем угол АОС и радиус окружности.

Дано:

• Две касательные к окружности с центром в точке O пересекаются в точке A.
• Точки B и C – точки касания.
• ∠ВАС = 60°.
• АО = 10 см.

Найти:

1. а) ∠АОС;
2. б) радиус окружности.

Решение:

а) Найдем угол АОС.

1. ОВ ⊥ АВ и ОС ⊥ АС (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).
2. Сумма углов в четырехугольнике АВOС равна 360°.
3. ∠ВОС = 360° - (∠ОВА + ∠ОСА + ∠ВАС) = 360° - (90° + 90° + 60°) = 360° - 240° = 120°.
4. АО – биссектриса угла ВАС (свойство касательных, проведенных из одной точки). Следовательно, ∠ОАС = ∠ВАС / 2 = 60° / 2 = 30°.
5. Рассмотрим треугольник АОС. Он прямоугольный (ОС ⊥ АС).
6. ∠АОС = 180° - (∠ОСА + ∠ОАС) = 180° - (90° + 30°) = 180° - 120° = 60°.

б) Найдем радиус окружности.

1. В прямоугольном треугольнике АОС: sin(∠ОАС) = ОС / АО.
2. ОС = АО ⋅ sin(∠ОАС) = 10 ⋅ sin(30°) = 10 ⋅ 0.5 = 5 см.

Ответ:

• а) ∠АОС = 60°;
• б) радиус окружности = 5 см.

3. Найдем угол ОРМ.

Дано:

• В окружности с центром в точке O проведены диаметр КР и хорда РМ.
• ∠КОМ = 144°.

Найти: ∠ОРМ.

Решение:

1. ∠КОМ – центральный угол, опирающийся на дугу КМ.
2. ∠КРМ – вписанный угол, опирающийся на ту же дугу КМ.
3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, следовательно, ∠КРМ = ∠КОМ / 2 = 144° / 2 = 72°.
4. Треугольник ОРМ – равнобедренный, так как ОР = ОМ (радиусы окружности).
5. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, ∠ОРМ = ∠ОМР.
6. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
7. ∠РОМ = 180° - ∠КОМ = 180° - 144° = 36°.
8. ∠ОРМ = (180° - ∠РОМ) / 2 = (180° - 36°) / 2 = 144° / 2 = 72°.
9. Также ∠ОРМ = ∠КРМ - ∠КРО = 72° - 0° = 72°.

Ответ: ∠ОРМ = 72°.