Сколькими способами можно поставить на доску 10х10 две разноцветные ладьи так, чтобы они не били друг друга?

Решение:

Задача сводится к выбору двух различных полей на доске 10x10 для двух разноцветных ладей. Ладьи бьют друг друга, если находятся на одной горизонтали или вертикали. Чтобы они не били друг друга, они должны находиться на разных горизонталях и разных вертикалях.

1. Выбор поля для первой ладьи: На доске 10x10 всего \( 10 \times 10 = 100 \) полей. Первую ладью (любого цвета) можно поставить на любое из этих 100 полей.
2. Выбор поля для второй ладьи: После того как первая ладья поставлена, она занимает одну горизонталь и одну вертикаль. Чтобы вторая ладья не била первую, она не должна находиться ни на той же горизонтали, ни на той же вертикали.
3. Расчет оставшихся полей: Из 100 полей, 9 полей (9 горизонталей и 9 вертикалей, исключая занятое поле первой ладьей) недоступны для второй ладьи. Таким образом, остается \( 100 - 1 - 9 = 90 \) полей.
4. Учет разноцветности: Так как ладьи разноцветные (например, белая и черная), порядок их расстановки имеет значение. Если мы сначала поставили белую ладью, а затем черную, это отличается от случая, когда мы сначала поставили черную, а затем белую.
5. Общее количество способов: Количество способов поставить первую ладью равно 100. Количество способов поставить вторую ладью так, чтобы она не била первую, равно 90.

Общее число способов равно произведению числа способов для каждой ладьи:

\[ 100 \times 90 = 9000 \]

Альтернативный подход:

Мы можем выбрать 2 поля из 100, а затем назначить им цвета.

1. Выбор двух полей: Количество способов выбрать 2 поля из 100 без учета порядка: \( C(100, 2) = \frac{100!}{2!(100-2)!} = \frac{100 \times 99}{2} = 4950 \).
2. Назначение цветов: Поскольку ладьи разноцветные, для каждой пары выбранных полей есть 2 способа назначить им цвета (например, поле A - белая, поле B - черная; или поле A - черная, поле B - белая).
3. Общее количество способов: \( 4950 \times 2 = 9900 \).

Ошибка в альтернативном подходе: В первом подходе мы учли, что ладьи бьют по горизонтали и вертикали. Если мы просто выбираем 2 поля, они МОГУТ бить друг друга. Правильный подход — использовать размещение.

Корректный подход с использованием размещений:

Это задача на размещение, так как порядок (цвет) важен.

1. Выбор поля для первой ладьи (например, белой): 100 вариантов.
2. Выбор поля для второй ладьи (например, черной), чтобы она не била первую: 90 вариантов (не на той же горизонтали и не на той же вертикали).

Общее количество способов = \( 100 \times 90 = 9000 \).

Ответ: 9000 способов.