Сколькими способами можно представить число 180 в виде произведения трёх натуральных чисел? (Порядок чисел важен.)

Разложим число на простые множители: \(180=2^2\cdot3^2\cdot5\).

Чтобы получить три натуральных множителя, распределим показатели каждой простой степени между тремя множителями. Для \(2^2\) есть \(\binom{4}{2}=6\) распределений, для \(3^2\) также 6, а для \(5^1\) — \(\binom{3}{2}=3\).

Поскольку порядок множителей важен, перемножаем числа вариантов: \(6\cdot6\cdot3=108\).

Ответ: 108 способов.