Сколько единиц в двоичной записи числа $$8^{2014} - 2^{614} + 45$$?

Привет, ученики! Сейчас мы разберем, как решить эту интересную задачу. Нам нужно найти количество единиц в двоичной записи числа $$8^{2014} - 2^{614} + 45$$. 1. Представим $$8^{2014}$$ как степень двойки: $$8^{2014} = (2^3)^{2014} = 2^{3 cdot 2014} = 2^{6042}$$ 2. Перепишем выражение: $$2^{6042} - 2^{6042} + 45$$ 3. Представим $$2^{6042} - 2^{614}$$ в двоичном виде: $$2^{6042}$$ это 1 и 6042 нуля после нее. $$2^{614}$$ это 1 и 614 нулей после нее. Когда мы вычитаем $$2^{614}$$ из $$2^{6042}$$, мы получаем число, которое состоит из одной единицы, 6042-614-1 нулей, и 614 единиц. То есть: $$2^{6042} - 2^{614} = 2^{6042} - 2^{614} = 2^{614}(2^{4428}-1)$$. Число $$2^{4428}-1$$ состоит из 4428 единиц, так как двоичное представление числа $$2^n-1$$ состоит из n единиц. Затем, умножаем на $$2^{614}$$, мы получим 4428 единиц, за которыми следуют 614 нулей. 4. Представим число 45 в двоичном виде: $$45 = 32 + 8 + 4 + 1 = 2^5 + 2^3 + 2^2 + 2^0 = 101101_2$$ 5. Сложим результаты: Теперь нам нужно сложить $$2^{6042} - 2^{614}$$ и 45. Поскольку 45 меньше, чем $$2^{614}$$, это сложение повлияет только на последние несколько цифр двоичного представления $$2^{6042} - 2^{614}$$. $$2^{6042} - 2^{614}$$ состоит из 4428 единиц, за которыми следуют 614 нулей. Когда мы добавим 45 ($$101101_2$$), последние 6 цифр из 614 нулей изменятся. 6. Определим, сколько единиц будет после сложения: В числе 45 у нас 4 единицы. Поскольку у нас 4428 единиц от $$2^{6042}-2^{614}$$ и добавится $$45 = 101101_2$$, нужно проанализировать, как 45 повлияет на последние 614 нулей. В последних 6 позициях мы добавляем 101101 к 000000 (части из 614 нулей). Результат будет 101101. Таким образом, 4 единицы добавятся к нашим предыдущим 4428 единицам. 7. Итоговое количество единиц: Общее количество единиц будет $$4428 + 4 = 4432$$. Ответ: 4432