Сколько элементарных событий в серии из 11 испытаний Бернулли благоприятствует 5 успехам?

Решение:

В серии из \( n=11 \) испытаний Бернулли нас интересует количество элементарных исходов, в которых ровно \( k=5 \) успехов.

Количество таких исходов находится по формуле сочетаний \( C_n^k \), которая означает число способов выбрать \( k \) элементов из множества \( n \) без учёта порядка.

Формула для числа сочетаний:

\[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

В нашем случае \( n = 11 \) и \( k = 5 \).

\[ C_{11}^5 = \frac{11!}{5!(11-5)!} = \frac{11!}{5!6!} \]

Распишем факториалы:

\[ C_{11}^5 = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 6!} \]

Сократим \( 6! \):

\[ C_{11}^5 = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \]

Вычислим:

\[ C_{11}^5 = \frac{11 \times (5 \times 2) \times (3 \times 3) \times (4 \times 2) \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \]

Сокращаем числа:

\[ C_{11}^5 = 11 \times \frac{10}{5 \times 2} \times \frac{9}{3} \times \frac{8}{4} \times 7 \] \[ C_{11}^5 = 11 \times 1 \times 3 \times 2 \times 7 \] \[ C_{11}^5 = 11 \times 42 \] \[ C_{11}^5 = 462 \]

Пояснение:

Количество элементарных событий — это число исходов, где ровно 5 успехов из 11 испытаний. Мы находим его с помощью биномиального коэффициента \( C_{11}^5 \).

Ответ: 462