Сколько имеется кратчайших путей, проходящих по рёбрам куба, из одной его вершины в противоположную?

Для решения этой задачи нам нужно понять, что кратчайший путь из одной вершины куба в противоположную должен состоять из трех ребер. Нам нужно найти количество различных способов пройти по этим трем ребрам. Пусть начальная вершина куба - A, а противоположная вершина - B. Чтобы добраться из A в B, нужно пройти три ребра в трех различных направлениях (например, x, y, z). Независимо от порядка этих направлений, мы всегда придем в противоположную вершину. Теперь давайте рассмотрим количество способов выбрать эти направления. Из начальной вершины A у нас есть три возможных ребра для первого шага. После того, как мы выбрали первое ребро, у нас есть два варианта для второго ребра (мы не можем вернуться назад по уже пройденному ребру, чтобы не удлинять путь). После выбора второго ребра у нас остается только один вариант для третьего ребра, чтобы достичь противоположной вершины B. Таким образом, количество кратчайших путей равно количеству способов упорядочить эти три направления, что составляет 3! (3 факториал). $$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$$ Значит, существует 6 различных кратчайших путей из одной вершины куба в противоположную. Ответ: 6