Сколько имеется кратчайших путей, проходящих по рёбрам октаэдра, из одной его вершины в противоположную (см. рис.)?

Решение:

Октаэдр — это правильный многогранник, состоящий из 8 треугольных граней, 12 рёбер и 6 вершин. Каждая вершина имеет 4 соседа.

Рассмотрим вершину октаэдра. Чтобы добраться до противоположной вершины кратчайшим путём, нужно пройти через 3 ребра. Это связано с тем, что каждая вершина связана с 4 соседними вершинами, а противоположная вершина находится на расстоянии 3 рёбер от исходной.

Обозначим стартовую вершину как A. У неё 4 соседние вершины. Выберем одну из них (например, B). Из B есть 3 пути к другим вершинам, но один из них ведёт обратно к A, а два других ведут к новым вершинам (C и D). Если мы хотим достичь противоположной вершины (обозначим её как G) кратчайшим путём, то каждый шаг должен приближать нас к ней.

Путь имеет длину 3. На каждом шаге (кроме последнего) у нас есть выбор из 2 рёбер, которые ведут дальше от начальной вершины (и ближе к конечной). Таким образом, количество путей можно вычислить как:

1. Из начальной вершины A мы можем пойти в одну из 4 соседних вершин.
2. Из каждой соседней вершины есть 2 пути, ведущие к вершинам, которые находятся на расстоянии 2 от A (и на расстоянии 1 от G).
3. Из каждой из этих двух вершин есть только 1 путь, ведущий к противоположной вершине G.

Количество кратчайших путей равно произведению числа выборов на каждом шаге:

\( 4 \times 2 \times 1 = 8 \)

Таким образом, существует 8 кратчайших путей между любыми двумя противоположными вершинами октаэдра.

Ответ: 8