Сколько клеток составляет площадь треугольника на рисунке?

Решение:

Для определения площади треугольника, который находится на клетчатом поле, можно использовать формулу площади треугольника \( S = \frac{1}{2} \times основание \times высота \) или метод подсчёта клеток.

Рассмотрим треугольник на рисунке. Его вершины находятся в следующих точках (примем, что одна клетка равна 1 единице):

• Вершина 1: (0, 3)
• Вершина 2: (2, 0)
• Вершина 3: (4, 3)

Используем метод пикселей (формула Пика): \( S = \text{внутренние клетки} + \frac{\text{граничные клетки}}{2} - 1 \)

Подсчет внутренних клеток:

Внутри треугольника находятся 3 полные клетки.

Подсчет граничных клеток:

На сторонах треугольника находятся 4 полные клетки (вершины не считаем).

Применяем формулу:

\( S = 3 + \frac{4}{2} - 1 = 3 + 2 - 1 = 4 \) клетки.

Другой метод:

Можно также найти площадь, выделив прямоугольник, в который вписан треугольник, и вычитая площади прямоугольных треугольников по углам.

Рассмотрим прямоугольник с вершинами в (0,0), (4,0), (4,3), (0,3). Площадь этого прямоугольника равна \( 4 \times 3 = 12 \) клеток.

Площадь нижнего левого прямоугольного треугольника: \( \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3 \) клетки.

Площадь нижнего правого прямоугольного треугольника: \( \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3 \) клетки.

Площадь верхнего треугольника (образуется между вершиной (0,3) и (4,3) и двумя другими вершинами): \( \frac{1}{2} \times 4 \times 0 = 0 \), т.к. основание лежит на одной горизонтали с вершиной.

Ошибка в предыдущем рассуждении. Правильнее посчитать площадь прямоугольника, охватывающего треугольник:

Выделим прямоугольник с вершинами в (0,0), (4,0), (4,3), (0,3). Площадь этого прямоугольника равна \( 4 \times 3 = 12 \) клеток.

Площадь треугольника, образованного вершинами (0,0), (2,0), (0,3) равна \( \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3 \) клетки.

Площадь треугольника, образованного вершинами (2,0), (4,3), (4,0) равна \( \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3 \) клетки.

Площадь треугольника, образованного вершинами (0,3), (2,0), (4,3) равна \( 12 - 3 - 3 = 6 \) клетки.

Используем метод подсчета клеток:

Целые клетки внутри треугольника: 4.

Клетки, разделенные сторонами треугольника пополам: 2.

Итого: 4 (целые) + 2 (половинки) = 6 клеток.