Сколько минут потратил гонец на доставку первого письма?

Обозначим время доставки первого письма за \(x\) минут. Тогда второе письмо доставлялось за \(x\) минут, третье — за \(\frac{2x}{3}\), четвёртое — за \(3x\), пятое — за \(2x\). Всего гонец потратил 2 часа 30 минут, то есть 150 минут:
\(x+x+\frac{2x}{3}+3x+2x=150\).
\(\frac{23x}{3}=150\), поэтому \(x=\frac{450}{23}\approx19{,}57\).
Ответ: \(\frac{450}{23}\) минуты (примерно 19,57 минуты).