Сколько минут затратят Таня с дедушкой на дорогу из Антоновки в Богданово, если поедут мимо пруда через Горюново?

Давайте решим эту задачу по шагам.

1. **Определим маршрут**: Таня и дедушка едут из Антоновки (точка 1) в Богданово через Горюново (точка 3).
2. **Укажем, какой вид дороги на каждом участке маршрута**: Из условия задачи мы знаем, что от Антоновки до Горюново дорога просёлочная, а от Горюново до Богданово - шоссе.
3. **Вспомним скорости**: По шоссе скорость 50 км/ч, по просёлочной дороге 30 км/ч.
4. **Определим расстояния**: Из условия мы знаем, что расстояние от Горюново до Ванютино 15 км. Также мы знаем что расстояние от Антоновки до Доломино равно 12 км, а от Доломино до Горюново 12 км. Это позволяет нам узнать расстояние от Антоновки до Горюново, которое равно сумме двух расстояний (Антоновка - Доломино и Доломино - Горюново).
Следовательно, расстояние от Антоновки до Горюново = 12 км + 12 км = 24 км. И расстояние от Горюново до Богданово = 15 + 12 + 9 + 12 = 48 км
Итого расстояние от Антоновки до Горюново 24 км, а от Горюново до Богданово 48 км.
5. **Рассчитаем время для каждого участка**:
- Время от Антоновки до Горюново: \(\text{время} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} = \frac{24 \text{ км}}{30 \text{ км/ч}} = 0.8 \text{ часа}\). Чтобы перевести в минуты, умножим на 60: \(0.8 \times 60 = 48 \text{ минут}\).
- Время от Горюново до Богданово: \(\text{время} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} = \frac{48 \text{ км}}{50 \text{ км/ч}} = 0.96 \text{ часа}\). Чтобы перевести в минуты, умножим на 60: \(0.96 \times 60 = 57.6 \text{ минут}\).
6. **Сложим время**: Общее время в пути равно сумме времени на каждом участке: \(48 \text{ минут} + 57.6 \text{ минут} = 105.6 \text{ минут}\).

**Ответ**: Таня с дедушкой затратят 105.6 минут на дорогу из Антоновки в Богданово, если поедут мимо пруда через Горюново.