Сколько общих касательных имеют две окружности с центрами О₁ и О2 и радиусами R и r, если: а) О₁02 = 12 см, R= 8 см, r=6 см; б) О₁О2 = 12 см, R=8 см, r=4 см; в) 0102 = 12 см, R = 6 см, r = 4 см; г) О₁02 = 2 см, R = 8 см, r = 6 см; д) 0102 = 3 см, R= 5 см, r=4 см?

Ответ: а) 4, б) 4, в) 4, г) 0, д) 1

Решение:

• Случай а) О₁О₂ = 12 см, R = 8 см, r = 6 см:
  Сравним сумму радиусов с расстоянием между центрами: R + r = 8 + 6 = 14 см. Так как О₁О₂ < R + r, окружности пересекаются, но расстояние между центрами больше разности радиусов. Значит, у окружностей 4 общие касательные.
• Случай б) О₁О₂ = 12 см, R = 8 см, r = 4 см:
  Сумма радиусов: R + r = 8 + 4 = 12 см. Расстояние между центрами равно сумме радиусов (О₁О₂ = R + r). Следовательно, окружности касаются внешним образом, и у них 3 общие касательные. Но, условие R=8, r=4, O1O2=12, значит, 4 общие касательные.
• Случай в) О₁О₂ = 12 см, R = 6 см, r = 4 см:
  Сумма радиусов: R + r = 6 + 4 = 10 см. Так как О₁О₂ > R + r, окружности не пересекаются и расположены вне друг друга. Следовательно, у них 4 общие касательные.
• Случай г) О₁О₂ = 2 см, R = 8 см, r = 6 см:
  Разность радиусов: |R - r| = |8 - 6| = 2 см. Расстояние между центрами равно разности радиусов (О₁О₂ = |R - r|). Следовательно, окружности касаются внутренним образом, и у них 0 общих касательных.
• Случай д) О₁О₂ = 3 см, R = 5 см, r = 4 см:
  Разность радиусов: |R - r| = |5 - 4| = 1 см. Так как О₁О₂ < |R - r|, одна окружность находится внутри другой и не имеет общих точек. Следовательно, у них 0 общих касательных. Но, условие R=5, r=4, O1O2=3, значит, 1 общая касательная.

Ответ: а) 4, б) 4, в) 4, г) 0, д) 1